ArchiPerioVers 22h25 l3 dim. 23I2011

Temporairenent dans 1.ContenuTemporaireVersPubl.I2011

Système du Québécium.

I. D’Archimède, le tétraèdre tronqué;

un pentaèdre, un hexaèdre et un heptaèdre peu connus.

II. Application de ces solides aux tableaux périodiques 3D des éléments.

Pierre Demers et Patrick Demers.

Traduction interdite

6I2011 Les Rois 2011 -.

Résumé. I. Dans le but de mieux comprendre leur géométrie, nous présentons une analyse du tétraèdre tronqué d’Archimède et de ses variantes peu connues en incluant, en plus du tétraèdre de Platon, ce que nous appelons heptaèdre, hexaèdre et pentaèdre d’Archimède. Nous en montrons des images 3D en logiciel skp. Cette analyse fait intervenir l’octaèdre de Platon. Nous montrons à nouveau que certains de leurs assemblages peuvent donner un pavage exact et nous montrons à quelles conditions. II. Nous reprenons et augmentons notre étude récente de leur application au tableau périodique 3D des éléments. Ajoutant à la liste publiée dans cette étude précédente, nous montrons ainsi plusieurs tableaux originaux nouveaux s’appuyant sur le tétraèdre tronqué d’Archimède et ses dérivés. Ils apportent des arguments nouveaux en faveur des principes de la géométrie quantique que nous avons présentée dans une étude distincte. Ces arguments concernent l’origine géométrique de la colonne vertébrale d’éléments non irréguliers dans notre tableau elliptique des éléments. Continue Réfs 1, 2.

I. D’Archimède, le tétraèdre tronqué;

un pentaèdre, un hexaèdre et un heptaèdre peu connus.

Les cinq solides. Le tétraèdre tronqué d’Archimède. Ses dérivés téraèdre, pentaèdre, hexaèdre et heptaèdre. Par 4 troncatures pratiquées sur un tétraèdre régulier de Platon, Archimède a obtenu un solide semi-régulier portant son nom, aux arêtes toutes égales à a, limité par 4 hexagones et 4 triangles. Il est un octaèdre, distinct de celui régulier de Platon qui est composé de 8 tétraèdres. Par addition d’un, 2, 3 ou 4 tétraèdres de Platon ayant eux aussi même arête a, on obtient successivement un heptaèdre, un hexaèdre, un pentaèdre et un tétraèdre, ce dernier étant un tétraèdre de Platon d’arête 2a. Nous avons ainsi devant nous 5 solides, numérotés T pour tétraèdre : T8, T7, T6, T5 et T4 selon le nombre de leurs faces ; 3 d’entre eux sont rarement mentionnés dans les répertoires consultés. On trouve à Beaumont de Lomagne près Toulouse une sculpture appelée heptaèdre de Fermat, œuvre de Théophile Barrau. Réf. 3. Moins ils ont de faces et plus ils occupent d’espace. Ils présentent par là une analogie avec les solides coiffés, ce qu’ils sont au moins partiellement sauf T4. Leur extension est en raison inverse de leurs numéros. Figs 1, 2.

Fig. 1. T8. Le tétraèdre tronqué d’Archimède qui a 8 faces dont 4 hexagones et 4 triangles et des arêtes toutes égales à a. C’est un octaèdre. Vue intérieure. Il peut se décomposer en un assemblage de tétraèdres et d’octaèdres de Platon tels que montrés à gauche et à droite.

…de Platon

…d’Archimède

Fig. 2. Image 2.png

8. T8 le tétraèdre tronqué d’Archimède

7. T7. Coiffé d’un tétraèdre d’arête a, il est devenu heptaèdre. Il a 7 faces dont une hexagone d’arête a, 3 triangles d’arête a,

et 3 composées chacune d’un hexagone et d’un triangle, l’un et l’autre d’arête a, formant chacune un pentagone.

6. T6. Coiffé de 2 tétraèdres d’arête a, devenu hexaèdre. Il a 6 faces dont 2 triangles d’arête a, 2 composées chacune d’un hexagone et d’un triangle, l’un et l’autre d’arête a, formant chacune un pentagone, et 2 trapèzes composés chacun d’un hexagone et de 2 triangles, tous d’arêtes a.

5. T5. Coiffé de 3 tétraèdres d’arête a, devenu pentaèdre. Il a 5 faces dont un triangle d’arête 3a, un triangle d‘arête a et une hexagone d’arête a, 3 triangles d’arête a et 3 triangles d’arêtes et 3 trapèzes composés chacun d’un hexagone et de 2 triangles, tous d’arêtes a.

4. T4. Coiffé de 4 tétraèdres d’arête a, devenu tétraèdre de Platon d’arête 3a.

Voici les dimensions principales de T8. TetraTronqueCentre-bisG.png, TetraTronqueCentre-bisG.skp

Ouvrir TetraTronqueCentre-bis.skp

Fig. 3. T8. Dimensions principales. TetraTronqueCentre-bis.png, TetraTronqueCentre-bisG.skp Image 9.png

arête a = 1,000m

rayon de la sphère inscrite aux faces hexagones = 0,612a

rayon de la sphère inscrite aux faces triangles = 1,021a

rayon de la sphère circonscrite aux sommets = 1,173a

distance du centre au milieu d’une arête 1,061a

rayon du cercle inscrit dans les faces triangles = 0,289a

rayon du cercle inscrit dans les faces hexagones = 0,866a

Ouvrir 3Solides-4.skp TetraTronquePyram~.skp

Fig. 4. T8. Sa décomposition en 4 octaèdres et 5 tétraèdres dont R central, tous de Platon et de même arête. En skp manipulable. Image 9ter.png Image 10ter.png

Insérer 3Solides-4.skp TetraTronquePyram~.skp

Fig. 5. T8. Patron de découpage. Il y a 4 hexagones et 4 triangles. Arête = 60 mm. Plan OctaDeplie-4.ai

Domaines. Domaines hexagones de T8. T8 peut se diviser en 4 domaines égaux comprenant chacun une face hexagone. Ce sont des pyramides à base hexagone augmentées. Voici leurs aspects. Figs 6, 7, 8, 9.

Insérerpngskpde...

Fig. 6. T8 Le domaine d’une face hexagone de T8. Il comprend une pyramide de base hexagone ayant un côté a, de hauteur égale au rayon de la sphère inscrite dans T8 0,612a; cette pyramide est augmentée de 3 tétraèdres ayant une face B.

Il est un heptaèdre, limité par un hexagone de côté a, 3 pentagones RV et 3 triangles isocèles B. Le pentagone a un côté a, 2 côtés 1,021a

TetraTronquePyramCol.png TetraTronquePyram¿.skp

TetraTronquePyram~.skp 18h39 Insérerpngskpde... TetraTronquePyram~.skp

Skp??

Fig. 7. T8. Domaine hexagone d’une face hexagone de côté = a arête du solide = 60 mm, patron de découpage. On plie selon les rayons V et selon les lignes VB, on applique sur une base hexagone. Le point de rencontre des diagonales est au centre de T8. TetraTronquePyramDecoupe.ai TetraTronquePyramDecoupe.png

Fig. 8. T8. Papier. Raccordement de de 2 domaines hexagones dans T8. 2DomainesHexa.png

Fig. 9. T8. Vue montrant la division en 4 domaines hexagones. TetraTronquePyram4x.png TetraTronquePyram4xbis.png

Insérer pdf 3D TetraTronquePyram4x

Domaines triangles de T8. T8 peut se diviser en 4 domaines égaux symétriquement placés comprenant chacun l’une des faces triangles de T8. Figs 9, 10, 11. Un domaine triangle et un domaine hexagone ont le même volume mais des formes différentes. L’un et l’autre sont des heptaèdres

Fig. 9. T8. Domaine d’une face triangle. Le point de rencontre des diagonales est au centre de T8. DomaineTriT8.png

Insérer PDF 3D Domaine-1.skp

Fig. 10. T8 Les 4 domaines triangles de T8. Domaines4TriT8.png Domaines4TriT8bis.png Domaines4TriT8ter.png Insérerpdfskp

Fig. 11. T8 Domaine Tri T8. Patron de découpage. On plie selon les lignes RV et VB. S’applique sur une face triangle. Domaine-DeplieTriT8.png

T7. En coiffant une face triangle de T8, on obtient T7. Dans T7, une face seulement est un hexagone et répond aux descriptions valables pour T8. Trois faces sur 4 se trouvent être des pentagones. Les descriptions Figs 3, 4, 5 sont modifiées et sont remplacées par celles Figs 12, 13, 14.

Fig. 12. T7

Fig. 13. T7

Fig. 14. T7

T7. Domaines. Domaines hexagones de T7 transformés de T8. Nous n’avons pas cherché où se trouve le centre de gravité de T7. Nous gardons comme point de référence le centre de gravité de T8 inscrit. Un des domaines de T7 reste identique à ceux de T8, c’est celui de l’unique face restée hexagone. Les 3 autres en diffèrent par l’addition d’un tiers du chapeau ajouté. Ce chapeau est un tétraèdre de Platon, l’addition est un tétraèdre. Les nouveaux domaines hexagones transformés sont des hexaèdres. Remplaçant Figs 6, 7, 8, nous obtenons Figs 12, 13, 14.

Fig. 12. T7.

Fig. 13. T7. Domaine hexagone modifié. Valable pour les 3 faces hexagones modifés. La présente figure est un hexaèdre. Il est limité par une face hexagone modifiée devenue pentagone, par 3 faces triangles équilatéraux de côtés a et 2 faces triangles isocèles ? de côtés a, 2a, 2a. ? TetraTrT76.png

Fig. 14. T7. Domaine hexagone modifié. Patron de découpage. TetraTronqueT76-Deplie.ai

T7. Domaines. Domaines triangles de T7 transformés de T8.

?

T6. Domaines. Domaines hexagones de T6 transformés de T8.

?

T6. Domaines. Domaines triangles de T6 transformés de T8.

?

T5. Domaines. Domaines hexagones de T5 transformés de T8.

?

T5. Domaines. Domaines triangles de T5 transformés de T8.

?

T5. Domaines. Domaines hexagones de T4 transformés de T8.

?

T5. Domaines. Domaines triangles de T5 transformés de T8.

?

Horizons.

Quels sont les horizons de ces 8 solides?

Conclusion de la Partie 1. Pavages

Il est bien connu que le tétraèdre seul ou l’octaèdre seul ne peut pas paver l’espace. Tout au plus peut-on associer jointivement 4 tétraèdres à un seul et 8 octaèdres à un seul et réaliser ainsi un penta-tétraèdre et un nono-octaèdre, mais la suite est impossible.

Fig. A1.

En revanche, tout à fait remarquable est l’affinité mutuelle tétraèdre-octaèdre. L’un sans l’autre, à lui seul, est incapable de paver l’espace 3D; associés, ils en sont capables. Y-aurait-il là une possibilité d’expliquer les symétries et la structure de l’atome? C’est l’objet de notre Partie 2 qui suit.

L’affinité mentionnée est distincte de celle existant entre un solide et son dual. Le dual du tétraèdre est le tétraèdre; le dual du tétraèdre tronqué est le triakitétraèdre; celui de l’octaèdre est le cube.

Le dual du cube C1 remplace une face par un sommet (et réciproquement); ainsi obtient-on un octaèdre O2. Le dual de l’octaèdre O2 remplace une face par un sommet (et réciproquement); ainsi obtient-on un cube C3. Etc. Si l’on ignore la partie du discours entre parenthèses, C3 n’est pas la réplique exacte de C1 : il est plus petit. (Par ailleurs, si l’on tient compte de la partie du discours entre parenthèses en négligeant le restant du texte, on obtient successivement O4 puis C5. C5 n’est pas la réplique exacte de C1: il est plus grand.) Il y a là une ressemblance avec les processus des fractals étudiés par Benoît Mandelbrot (1924-2010). Réf. 2.

Voici un schéma de découpage de l’octaèdre incluant un carré équatorial pour la solidité et le commodité du collage. Fig. A1.

Fig. A3. Octaèdre de Platon. Patron de découpage avec carré équatorial. Octa.png Octa.ai

II. Application de ces solides aux tableaux périodiques 3D des éléments.

Des conventions naturelles.

Nous utilisons des polyédres, chacun représente une tétrade d’éléments. Un tétraèdre T4 est bien adapté pour jouer ce rôle, puisqu’il présente 4 faces planes, une pour chaque élément de la tétrade. Dans les polyèdres examinés plus haut T5 à T8, on peut reconnaître 4 faces principales qui sont des hexagones lus ou moins modifiés. Entre les horizons ce 2 de ces faces, la distance angulaire vaut 109,471o, pour user de l’algorithme horizon décrit par nous Réf. 4.

L’octaèdre possède 4 paires de faces parallèles 2 à 2 ayant le même horizon. Pour l’octaèdre aussi, la distance angulaire entre 2 horizons vaut 109,471o.

Une sphère est dépourvue de faces planes.

Le Tableau 3D Q15

Ceci est un rappel d’une publication précédente de l‘un de nous. Réf. 3

Références.

Réf. 1. Pierre Demers, Site. http://www.lisulf.quebec/quebecium.htm

Réf. 3.. Mandelbrot Le figaro X 2010 Le Figaro D’après http://www.lefigaro.fr/flash-actu/2010/10/16/97001-20101016FILWWW00560-deces-du-mathematicien-mandelbrot.php

Réf. 3.

Réf. 4. 1039 Pierre Demers et Patrick Demers, Système du Québécium. Solides sans volume. Les hexaèdres. Le nombre de cellules. Règles générales. 18X-29XII201. solidess vol

v