GravitationQuantification

Systme du QuŽbŽcium:

http://lisulf.quebec/quebecium.htm

Systme du QuŽbŽcium.

Gravitation et quantification.

Pierre Demers, 6III2015

Version du 17III2015.

Traduction interdite.

Poser le problme, pertinence du cadre de rŽflexion.

Le Modle Standard n'inclut ni la gravitation ni la relativitŽ, choses restant mystŽrieuses, mme s'il est couramment admis que la gravitation est associŽe ˆ la relativitŽ gŽnŽralisŽe et ˆ une dŽformation de l'espace-temps. Par ailleurs, il n'existe aucune thŽorie sur les masses des particules. Or il n'existe de forces gravitationnelles qu'entre objets matŽriels dans l'univers formŽs de particules ayant une masse et une masse au repos non nulle. On imagine mal que des forces gravitationnelles pourraient s'exercer entre des neutrinos ou des photons au repos.

Dans une telle perspective, on peut penser que l'analyse des masses des particules pesantes - appelons les particules graves, pourrait conduire ˆ cerner le problme posŽ.

C'est pourquoi je rassemble ici des rŽsultats dŽmontrant des rŽgularitŽs dans les masses des particules subatomiques ou quasi-subatomiques datant de prs d'un quart de sicle. Depuis ce temps, j'ai appris l'importance du nombre magique 30 et celle de la gŽomŽtrie dans la comprŽhension des atomes.

Nombres magiques.

Ces rŽsultats dŽmontrent l'intervention de nombres magiques:

 2 puissance -1/2 ce qui est reliŽ aux angles solides

et 2 puissance 1/12 = 1,059.463 ce qui est reliŽ au demi-ton de la gamme diatonique musicale.

Voyez dans les Annexes  1 ˆ 4.

Annexes.

Je reproduis les textes sans altŽration.

============================

Ann. 1. http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/4eforceter.html

4eforce

Rev. Biomath. 116, 5-11, 4e trimestre 1991

LA 4E FORCE, UNIFICATRICE DES FREQUENCES EXTREMES

Pierre Demers,

Centre quŽbŽcois de la Couleur,

1200, rue Latour, Saint-Laurent (QuŽbec) H4L 4S4

Communication prŽsentŽe au XIIIe congrs international de biomathŽmatique, le 6 septembre 1991. Kremlin-Bictre (France)

RŽsumŽ. L'analyse biomathŽmatique des frŽquences de de Broglie pour les particules chargŽes les plus stables montre des rŽgularitŽs qui paraissent s'expliquer par une quantification de la 4e force, force gravitationnelle.

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/QuatrforceFig1.gif

Fig. 1. Cette figure montre une gamme o l'Žlectron est un la et le proton est un sol. Elle manifeste des rŽgularitŽs touchant toutes les catŽgories de particules ŽlŽmentaires: des leptons, des bosons de jauge chargŽs, des hadrons (des mŽsons et des baryons). Le principe de cette synthse para”t tre la quantification de la 4e force, laquelle expliquerait ainsi les masses des particules ŽlŽmentaires aussi bien que les mouvements des astres.

Lois biomathŽmatiques musicales

Des travaux de Jo‘l Sternheimer (1)(2) ont Žtabli que les particules ŽlŽmentaires suivent des lois musicales dans la distribution de leurs masses, proportionnelles ˆ des frŽquences, selon la relation fondamentale de de Broglie qui s'Žcrit comme suit, avec M masse en unitŽs Žgales ˆ la masse de l'Žlectron me±, m masse en Mev, et f en Hz.

f = 0,209.3 M 269 = 0,409.62 m 269

f = 428,7 M 258

Ces travaux s'accordent avec un modle biomathŽmatique de l'auteur, proposant que des relations mathŽmatiques semblables unissent toutes les perceptions humaines : couleur, audition, relativitŽ et particules matŽrielles.(3) En collaboration avec Longavesne, l'auteur a confirmŽ et Žtendu les conclusions de Sternheimer.(4)(5)

Lois de gamme et d'octave

L'auteur a obtenu des rŽsultats nouveaux pour un Žchantillon privilŽgiŽ de particules ŽlŽmentaires. Cet Žchantillon contient 15 particules chargŽes classŽes comme stables S dans les tables. Il existe 19 particules chargŽes S, mais nous avons exclu les 4 baryons les plus lourds, qui sont charmŽs et qui donnent des rŽsultats discordants.(6)(7)

Cet Žchantillon manifeste des rŽgularitŽs remarquables lorsqu'on examine les hauteurs X et x, logarithmes des masses. Cela revient ˆ placer ces masses selon une progression gŽomŽtrique. On utilise la base 2 et la base b = 1,059.463 = 21/12. Le nombre 2 dŽtermine l'intervalle de l'octave, le nombre b, celui du degrŽ diatonique. Il y a 12 degrŽs diatoniques dans la gamme tempŽrŽe.

X = log2M x = logbM

Les rŽsultats principaux peuvent se dŽcrire ainsi.

1. Il y a une "rgle d'octave", selon laquelle X n'aurait que des valeurs entires. Cette rgle n'est pas respectŽe exactement. Appelons D X la diffŽrence entre X et l'entier le plus proche K, appelŽ N¡ d'octave.

D X = X-K K = ent(X+0,5)

On constate que les valeurs de D X restent comprises entre -0,323 et +0,337 alors que, par construction, elles pourraient s'Žtendre entre -0,5 et +0,5. De plus, on trouve que la moyenne de D X pour les particules plus lourdes que l'Žlectron est sensiblement nulle. Elle vaut 0,005. La rgle d'octave s'accorde remarquablement bien avec la moyenne des hauteurs expŽrimentales.

2. Il y a une "rgle de gamme", selon laquelle les hauteurs x n'auraient que des valeurs entires. Cette rgle n'est pas respectŽe exactement. Si elle Žtait respectŽe, les hauteurs dans la gamme h = 12D X seraient des nombres entiers et les positions occupŽes dans la figure 1 seraient les positions horaires sur le cercle divisŽ en 12. En effet, dans ce mode de reprŽsentation circulaire, les 12 notes de la gamme occupent les mmes positions que les 12 heures d'un cadran d'horloge.

Appelons D dissonance la diffŽrence entre h et l'entier le plus proche H.

D = h-H H = ent(12X+0,5)

On constate que les dissonances restent comprises entre -0,06 et 0,33 avec une moyenne algŽbrique de 0,116. Puisque les valeurs de D sont pour la plupart positives, il est facile de rŽduire leur moyenne arithmŽtique en dŽplaant l'origine dans la figure 1 vers les valeurs positives. En la dŽplaant de 0,11 unitŽs, on trouve l'Žcart arithmŽtique moyen suivant. Cela revient ˆ examiner le rapport m/m' des masses, y compris la masse de l'Žlectron, ˆ une masse fictive m' supŽrieure de 0,64 % ˆ celle de l'Žlectron. (m/m' au lieu de m/me±).

s arith = 0,55 %

En considŽrant les dissonances comme des Žcarts, s arith donne une mesure du dŽsaccord entre les masses expŽrimentales et notre modle musical.

La valeur prŽcise de 2 est requise dans les Žquations. En remplaant 2 par 2(1±1%), toute apparence de rŽgularitŽ dispara”t dans la figure 1. On a procŽdŽ ˆ un contr™le plus rigoureux en remplaant 2 par 2(1+e ) et en cherchant si une valeur de e diffŽrente de zŽro peut rŽduire l'Žcart arithmŽtique s arith trouvŽ ci-dessus Žgal ˆ 0,55 % On obtient le minimum de s arith pour e = -0,000.7, c'est-ˆ-dire que la valeur prŽcise de 2 devrait tre remplacŽe par 1,998.6, ou encore, qu'elle est confirmŽe ˆ 0,07 % prs. La valeur minimale de s arith est alors /

s arith = 0,54 %.

3. Les dissonances pourraient se comprendre par l'intervention des diverses gammes connues en musique, utilisant des rapports numŽriques autres que ceux de la gamme tempŽrŽe. Sternheimer a analysŽ les dissonances pour 38 particules et a reconnu qu'elles forment 6 classes qu'il a nommŽes A, B, C, D, E, F, qu'il explique par une synthse des gammes d'Orient et d'Occident. Les particules de notre Žchantillon se rangent dans les classes D, E et F. Nous avons remarquŽ que les dissonances sont de prŽfŽrence positives pour les particules chargŽes et nŽgatives pour les particules neutres.

SymŽtries et prŽdictions

1. L'aspect rŽgulier de la figure 1 invite ˆ dŽfinir et ˆ analyser les symŽtries intriguantes qu'elle contient. L'Žlectron y occupe une position centrale, voisine du la du diapason; 9 positions horaires jointives H de -4 ˆ 4 sont occupŽes, suggŽrant l'appellation de nonet. Ce nonet comprend les notes consŽcutives du fa au do#. Le rŽ, le rŽ# et le mi sont absents. Des rgles d'exclusion semblent s'appliquer, entre autres pour les particules d'Žchange caractŽrisŽes : p ± occupe ˆ elle seule une position horaire et il en est de mme pour W±.

2. Par analogie avec l'effet Zeeman et avec l'isospin, il est possible de dŽfinir un vecteur isogamme H valant 4 unitŽs et ayant 9 projections dans un espace abstrait des hauteurs H. Il donne ainsi les projections H = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 et 4. On peut alors parler d'un remplissage des octaves, analogue ˆ celui auquel on procde dans le cas de la classification pŽriodique des ŽlŽments. On trouve aussi bien qu'il y a 7 pŽriodes, marquŽes par les N¡s d'octaves K = 0, 8, 10, 11, 12, 13 et 17. K est l'analogue de n, nombre quantique principal. La dŽgŽnŽrescence ŽnergŽtique dans une pŽriode donnŽe est levŽe par les projections de H, donnant des valeurs H de -4 ˆ 4, assimilables ˆ Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/Image1.gif, s et j. Au total, il y aurait 63 places disponibles, seules 15 d'entre elles sont rŽalisŽes. On peut encore parler d'une structure fine associŽe ˆ la dissonance D. Dans la figure 1, il n'y a pas deux niveaux ayant les mmes nombres H et D. Il y a en dŽfinitive 3 nombres quantiques : K, H et D.

3. La constante de structure fine a dont l'inverse vaut 137,04 semble intervenir. Pour les particules plus lourdes que l'Žlectron, la moyenne de K est 160/14 = 137,14/12. Toute somme autre que 160 donnerait une moyenne plus ŽloignŽe de 137,04/12; la moyenne de x est 137,20; la moyenne de x = ent(x+0,5) est 137,07

4. L'abondance des niveaux rŽalisŽs culmine au voisinage de x = 12X12 = 144. L'essence d'un modle musical Žtant de reposer sur des nombres et des pŽriodicitŽs, il est naturel de considŽrer 137 et 144 comme importants pour toute extrapolation et toute rŽpŽtition pŽriodique. Une 2e accumulation de particules trs lourdes (Higgs) pourrait ainsi se prŽsenter aux environs de x = 274 et x = 288. Les masses seraient M = 7,5 ˆ 16,8.106 ou m = 3,8 ˆ 8,6 Tev.

5. Une analogie avec la couleur se prŽsente. En effet, les pourpres, couleurs perceptuelles absentes du spectre ŽnergŽtique des rayonnements visibles, compltent, ˆ la manire des 3 notes absentes dans la figure 1, le cercle ŽnergŽtique des couleurs.

La 4e force

Ce qui prŽcde suffit peut-tre ˆ dŽmontrer le caractre musical des particules de notre Žchantillon. Alors que la dualitŽ vibration-masse, le plus souvent dŽcrite comme dualitŽ onde-corpuscule, appara”t comme essentielle ˆ notre comprŽhension de la matire, aucune expŽrience, par le moyen de l'une de ces 3 forces : ŽlectromagnŽtique, faible ou forte, n'a pu mettre en Žvidence des vibrations sur des particules au repos.(8) Seule, semble-t-il, la mesure des masses, de leurs rapports et des hauteurs permet d'accŽder ˆ une telle Žvidence comme nous venons de le faire. Cette comparaison repose en principe sur l'usage de la balance c'est-ˆ-dire qu'elle recourt ˆ la 4e force, force gravitationnelle.

Il est par suite naturel de proposer que les lois de symŽtries et de rŽgularitŽs qui se rŽvlent ci-dessus rŽsultent d'une quantification de la 4e force. Ce serait la 1re manifestation expŽrimentale d'une telle quantification. Cette force explique les frŽquences trs basses des plantes. Elle expliquerait aussi les frŽquences trs ŽlevŽes des particules ŽlŽmentaires et, par suite, leurs masses. Elle interviendrait donc doublement pour expliquer l'Univers. Ds son dŽbut pour rŽgir l'apparition des infiniment petits et, dans la suite, pour rŽgir le comportement des infiniment grands formŽs par la rŽunion de ces infiniment petits.

ElectricitŽ, matire fondamentale

Les particules ŽlŽmentaires neutres et les particules ŽlŽmentaires chargŽes autres que celles de notre Žchantillon sont loin de montrer des rŽgularitŽs comparables ˆ celles de la figure 1. Les particules de notre Žchantillon montrent une "musicalitŽ" supŽrieure parmi les particules ŽlŽmentaires. Cela permet de croire qu'elles seraient les vŽritables particules ŽlŽmentaires.

D'aprs cela, la matire fondamentale serait ŽlectricitŽ en mme temps que masse et Žnergie. Les particules neutres rŽsulteraient de l'union de deux particules fondamentales de signes opposŽs.

RŽfŽrences

1 Jo‘l Sternheimer 1983, Musique des particules ŽlŽmentaires, C. r., 297, II, 829-834

2 Jo‘l Sternheimer 1986, Musique des particules ŽlŽmentaires, Rev. Biomath., N¼ 94 (88), 1-47

3 Pierre Demers 1983, Modle biomathŽmatique unitaire descriptif de toutes les perceptions humaines, Rev. biomath., N¼ 81 : 13-58

4 Jean-Paul Longavesne et Pierre Demers 1986, texte, soumis ˆ Interface de l'ACFAS

5 Jean-Paul Longavesne et Pierre Demers 1987, Ann. ACFAS, 55, 272

6 Pierre Demers 1991, communication soumise au 59me Congrs ACFAS

7 Pierre Demers 1991, FrŽquences de de Broglie et matire Žlectrique, soumis ˆ Ann. fond. L. de Broglie

8 Jozef Hurwic 1988, in PrŽsence de Gaston Bachelard, rŽd. C. Atias et J. Le Moigne, Univ. Aix-Marseille III, 51-2.

... le concept de Louis de Broglie attribuant le caractre ondulatoire aux corpuscules matŽriels Žtait ˆ l'origine de la crŽation par Erwin Schršdinger de la mŽcanique ondulatoire. Mais la thŽorie de Schršdinger est basŽe surtout sur les travaux du mathŽmaticien irlandais William Rowan Hamilton... La fonction y de la mŽcanique ondulatoire est appelŽe fonction d'onde parce qu'elle rappelle par sa forme mathŽmatique, et pour cette raison seulement, la fonction qui dŽcrit la propagation d'une onde Žlectro-magnŽtique. La seule reprŽsentation physique concerne le carrŽ du module qui dŽtermine la probabilitŽ de prŽsence du corpuscule considŽrŽ dans un endroit dŽterminŽ.

Nouvelle analyse NouvelleanalyseEc197.html --AccueilPierreDemers.html

 

============================

Ann. 2. http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/4eforceter.html

3e de 4 communications pour le XIVe congrs international de biologie mathŽmatique.

Paris, 9, 10 et 11 septembre 1993.

Revue internationale de biomathŽmatique, XXXII, 2e trimestre 1994, No 126, 35-46

Nouvelle analyse de l'Žchelle musicale

des particules fondamentales

Pierre Demers, Centre quŽbŽcois de la Couleur

RŽsumŽ. On rappelle que la distribution des masses des particules fondamentales s'accorde sensiblement avec deux invariances d'Žchelle Žtablissant un parallle avec la thŽorie de la musique : 1o le facteur d'Žchelle est le nombre 2; 2o le facteur d'Žchelle est la racine douzime de 2, gale ˆ l'intervalle diatonique de la gamme musicale tempŽrŽe. 3o On examine dans quelle mesure l'adoption des intervalles musicaux utilisŽes dans d'autres gammes peut amŽliorer cet accord. 4o Cette invariance d'Žchelle signifie que les degrŽs de cette distribution sont proportionnels au logarithme des masses. Un parallle se prŽsente ds lors avec la thŽorie de l'information, dans laquelle le nombre de bits d'information est proportionnel au logarithme des probabilitŽs. Dans la thŽorie statistique de la matire, les probabilitŽs sont Žgales ˆ un nombre de complexions parmi lesquelles un choix a ŽtŽ rŽalisŽ. On cherche ˆ interprŽter ce parallle.

15 particules fondamentales

Ce travail continue celui qui fut prŽsentŽ au XIIIe Congrs et publiŽ dans notre Revue. L'analyse porte sur 15 particules qui apparaissent comme plus fondamentales que les autres et qui sont chargŽes Žlectriquement. Par ordre des masses croissantes, elles vont de l'Žlectron e± au boson de jauge W±. Deux particules de mme masse sont comptŽes pour une seule si elles ne diffŽrant que par le signe de leur charge Žlectrique, comme c'est le cas pour l'Žlectron et le proton. Rappelons que Louis de Broglie, dans son premier travail, posa comme principe que chaque masse possde une Žnergie mc2 selon la relation d'Einstein et une frŽquence f selon la relation de Planck. (1)

f= mc2/h c cŽlŽritŽ de la lumire, h constante de Planck

De la sorte, il est indiffŽrent de parler des rapports mutuels des masses, des rapports mutuels des Žnergies ou des rapports mutuels des frŽquences.

Si on Žvalue les masses en millions d'Žlectron-volts Mev, voici la relation donnant numŽriquement la frŽquence en hertz Hz.

f = 0,409.62 m 269 m en Mev

Si on fait appara”tre la masse en unitŽs valant la masse de l'Žlectron soit 0,511 Mev :

f = 428,7 (m/0,511) 258 m en Mev

Au facteur 258 prs reprŽsentant 58 octaves, la frŽquence de l'Žlectron est 428,7 Hz, voisine du la normal qui vaut 440 Hz.

Exemples d'invariances

La physique contemporaine doit beaucoup de ses progrs ˆ la mise en oeuvre des notions de symŽtrie et d'invariance. On retrouve ces notions dans une foule d'exemples tirŽs des mathŽmatiques ŽlŽmentaires de la vie courante. L'exemple le plus immŽdiat peut tre tirŽ de notre propre humanitŽ. Dans l'opŽration de symŽtrie qui consiste ˆ passer de l'un de nous ˆ un autre, quelquee chose reste le mme, c'est ce qui nous fait tous ressembler l'un ˆ l'autre : le langage, une tte, deux bras, deux jambes, etc, en nous bornant aux caractres les plus Žvidents. Par ailleurs on note des diffŽrences de grosseur, de hauteur, de chevelure, et bien d'autres. L'invariance est ˆ la fois vŽritable et incomplte. Entre l'aspect physique de tous les humains existent une diffŽrence d'Žchelle et en mme temps une ressemblance ou ce que nous pouvons appeler une invariance d'Žchelle, elle aussi incomplte. Dans la structure du corps humain, il y a une symŽtrie entre la gauche et la droite, mais incomplte puisque le coeur est ˆ gauche.

ConsidŽrons des triangles ŽquilatŽraux, qui sont des fictions oeuvres de notre imagination, et passons d'un tel triangle ˆ un autre plus grand. Ils diffŽrent par leur c™tŽ mais c'est lˆ leur seule diffŽrence : entre eux existe une rigoureuse invariance d'Žchelle.

Si l'on examine certains objets de l'art sŽriel tels que ceux du dŽfunt Andy Warhol, on trouve un grand nombre de fois la reprŽsentation d'un mme objet, mais pas tout ˆ fait idenique ˆ lui-mme ˆ chaue fois. C'est ce qu'on observe dans son cŽlbre "210 bouteilles de Coca-Cola", qui a rapportŽ 2,1 millions de dollars amŽricains ˆ leur propriŽtaire. L'opŽration de symŽtrie est le passage d'une case ˆ l'autre, l'invariance est encore une fois vŽritable et incomplte. L'invariance est accompagnŽe d'une certaine diversitŽ. Les chefs-d'oeuvre de l'architecture fournissent dans leurs structures des exemples de ces trois principes : symŽtrie, invariance et diversitŽ.

La physique des particules a connu des progrs extraordinaires par l'exploitation de ces trois notions. La symŽtrie et l'invariance du groupe SU3 et d'autres groupes encore ont permis de prŽvoir l'existence et les propriŽtŽs plusieurs particules, mais elles sont imparfaites, et on parle alors de thŽories de jauge. Un trs grand problme de symŽtrie imparfaite concerne l'abondance des protons positifs et des Žlectrons nŽgatifs. Comment expliquer l'absence apparente dans l'Univers d'une Žgale proportion de protons nŽgatifs et des Žlectrons positifs?

La musique prŽsente un exemple particulirement intŽressant pour nous d'une invariance d'Žchelle. Ë tous les facteurs 2 exercŽs sur une frŽquence audible donnŽe, on retrouve une perception musicale analogue : un do1 devient un do2. Un air transposŽ d'une quinte c'est-ˆ-dire dont toutes les frŽquences sont multipliŽes par un facteur voisin de 3/2, sonne pareil ˆ nos oreilles. On dira qu'un son musical est invariant d'Žchelle sous l'opŽration de symŽtrie qui consiste dans ces transpositions, le facteur d'Žchelle Žtant tant™t le facteur 2 ou le facteur 3/2. Encore une fois, la symŽtrie est imparfaite et la transposition donne un rŽsultat qui se discerne de l'original, la preuve Žtant que prŽcisŽment on Žprouve le besoin de transposer pour les fins de l'art.

La sŽrie des sons musicaux elle-mme fournit un exemple d'invariance. Lorsqu'on passe d'une frŽquence de cette sŽrie ˆ la suivante, quelque chose reste constant et invariant : c'est la qualitŽ d'appartenir ˆ la collection des sons admis dans le cadre de la convention musicale, disons de la gamme choisie; les frŽquences Žtrangres sont exclues, elles sont fausses. Et pour rŽaliser cette invariance, on trouve la foule des rgles anciennes et modernes des tons, des semi-tons, des demi-tons, qu'ils soient majeurs ou mineurs, diŽsŽs ou bŽmolisŽs, doublŽs ou triplŽs ou bŽcarre, etc.

Une rgle rigoureuse et universelle semble se maintenir ˆ travers l'histoire de la musique : c'est la rgle d'octave. Au bout de la gamme se trouve invariablement, c'est le cas de parler d'une invariance, l'octave de facteur 2. On peut assurŽment rattacher ce facteur 2 ˆ des exigences de gŽomŽtrie et de mŽcanique vibratoire. On pourrait philosopher sur l'importance de ce facteur 2 qui survient en musique et en physiologie et la rapprocher de ce qu'on vŽrifie en thŽorie de la gravitation et de l'ŽlectromagnŽtisme : la valeur exacte de 2 intervient dans les formules, comme puissance affectant les dimensions spatiales. DŽjˆ Faraday l'avait vŽrifiŽ pour la loi de l'inverse du carrŽ de la distance en ŽlevctricitŽ, et toute la mŽcanique cŽleste repose sur l'exactitude de la puissance 2 dans la loi de l'attraction universelle. On peut assurŽment rattacher cela ˆ des raisons d'angle solide donc de gŽomŽtrie.

Quant ˆ l'invariance d'Žchelle correspondant au respect du caractre musical quand on passe d'une note ˆ une autre dans une gamme dŽterminŽe, une autre rgle Žmergea il y a 300 ans et ce fut un perfectionnement dŽcisif, qui facilita les transpositions et qui donna un essor nouveau ˆ la polyphonie. C'est alors que Jean-SŽbastien Bach (1685-1750) fit admettre que la gamme serait formŽe de douze demi-tons Žgaux emplissant l'octave, chacun est appelŽ demi-ton diatonique et la gamme est la gamme tempŽrŽe. Le demi-ton diatonique de la gamme chromatique vaut par suite un facteur b.

L'invariance d'Žchelle en musique concerne les frŽquences. L'Žquidistance des octaves et celle des degrŽs de la gamme(do, do#, rŽ, etc) concerne le logarihme des frŽquences. Si on fait usage du logarithme base 2, l'Žquidistance des octaves est d'une unitŽ ˆ la fois, l'Žquidistance des degrŽs de la gamme tempŽrŽe est d'un douzime d'unitŽ ou 0,083.333. Si on fait usage du logarithme base b, l'Žquidistance des octaves est de douze unitŽs et l'Žquidistance des degrŽs de la gamme tempŽrŽe est d'une unitŽ.

L'invariance d'Žchelle se distingue de ce qu'on peut appeler l'invariance arithmŽtique. Ainsi un mur de briques Žgales, une page emplie de lignes Žquidistantes prŽsente une sorte d'invariance ou de rŽgularitŽ, mais qui mŽrite l'Žpithte d'arithmŽtique : un rang, une ligne s'obtient ˆ partir de l'ŽlŽment prŽcŽdent en ajoutant ˆ ce dernier une hauteur additive. il y a progression arithmŽtique. Dans l'invariance d'Žchelle, il y a progression gŽomŽtrique d'un degrŽ au suivant, par l'application d'un facteur d'Žchelle, et les degrŽs deviennent Žgaux si l'on se sert de la fonction logarithme.

Premire invariance d'Žchelle : le facteur 2

Voyons, dans le Tableau I, la description de nos 15 particules fondamentales.

Tableau I

Les particules fondamentales

(m/0,511), m masse, la masse de l'Žlectron valant 0,511 Mev.

Classe Nom

3 leptons

Žlectron e± (1)

muon µ± (206,77)

tau ± (3491,4)

1 boson de jauge

W± (157730)

11 hadrons

6 mŽsons

kaon K± (966,05)

pion ¹± (273,13)

D± (3658,1)

Ds± (3852,8)

Ds*± (4129,7)

beautŽ B± (10328)

5 baryons

proton p± (1836,15)

sigma ·+ (2327,5)

sigma ·- (2342,3)

xi X (2385,8)

omŽga W (3272,9)

 

Ce sont lˆ les particules chargŽes Žlectriquement classŽes S (pour stables), en omettant les baryons charmŽs. Ces masses sont fort disparates, elles s'Žchelonnent entre 1 et 157730 et leur rŽpartition, dans un premier examen, n'obŽit ˆ aucune rŽgularitŽ. Tout au plus peut-on remarquer une accumulation des masses au voisinage de celle du proton. Cependant, nous allons voir qu'une rŽgularitŽ appara”t dans cette distribution si nous examinons non les valeurs naturelles des masses mais leurs logarithmes. Nous utilisons le logarithme base 2, lequel vaut 3,321.928 fois le logarithme base 10. On reconna”t, au Tableau II, que les frŽquences occupent 18 octaves. On rattache chaque valeur de X, Žgale ˆ L2(m/me±), au nombre entier le plus proche ou numŽro d'octave K, qui reste compris entre 0 et 17.

X = L2(m/me±)

K = entier(X + 0,5)

 

Tableau II. 15 particules fondamentales

logarithmes des masses : base 2 et base b = 21/12 = 1,059.463

Dans la colonne "octave", on a inscrit l'entier K le plus proche du nombre dans la colonne prŽcŽdente

Nom

Mev

m/me±

X

L2(m/me± )

K

Octave

D X

 

Lb(m/me± )

0,511

1

0

0

0

0

µ±

105,07

206,77

7,692

8

-

92,30

¹±

139,568

273,13

8,093

8

+

97,12

493,696

966,05

9,916

10

-

118,99

938,27

1836,15

10,842

11

-

130,11

S +

1189,4

2327,5

11,185

11

+

134,22

S -

1197,4

2342,2

11,194

11

+

134,33

X -

1321,32

2385,8

11,337

11

+

136,04

W -

1672,43

3272,9

11,678

12

-

140,12

t ±

1784,1

3491,4

11,77

12

-

141,24

1869,3

3658,1

11,837

12

-

142,04

Ds±

1968,8

3852,8

11,912

12

-

142,94

Ds*±

2110,3

4129,7

12,012

12

+

144,14

5277,6

10328

13,334

13

+

160,01

80600

157730

17,268

17

+

207,21

 

Par invariance d'Žchelle facteur 2, nous voulons ici dire que les masses rapportŽes ˆ celle de l'Žlectron seraient toutes Žgales aux puissances de 2. En d'autres termes, les valeurs de X seraient exclusivement des entiers. Le Tableau II fait appara”tre, si on examine les colonnes X et K, des diffŽrences Žvidentes entre X et K (dont le signe seul figure dans la colonne D X = X - K).

Analysons ces diffŽrences D X = X- K. Sept d'entre elles sont positives et sept sont nŽgatives, et la moyenne de leurs valeurs est 0,005, ce qui suggre soit qu'elles sont rŽparties au hasard soit que l'Žlectron joue un r™le normatif dans leur rŽpartition. Par construction, ces valeurs de D X restent comprises entre -0,5 et +0,5, mais en fait, leur distribution est plus resserrŽe : entre -0,322 et+0,337. Les valeurs extrmes de D x reprŽsentent, pour les masses, un Žcart d'un facteur compris entre 1/1,251 et 1,263. Si la distribution des diffŽrences D X Žtait alŽatoire, elle pourraient aller de -0,5 ˆ +0,5, avec un facteur touchant 1/1,414 et 1,414; leur moyenne arithmŽtique serait 0,250 alors qu'elle est 0,191. Cette analyse suggre qu'il existe vraiment une tendance ˆ ce que les masses se groupent autour des valeurs puissances entires de 2.

Un petit changement dans la valeur du facteur d'Žchelle pris Žgal ˆ 2 augmenterait la valeur moyenne de D X. Cela suggre que cette valeur possde une signification particulire pour les particules fondamentales. La figure 1 montre la distribution par niveaux des valeurs de X. Elles se rassemblent au voisinage des valeurs entires K = 0, 8, 11, 12 13,

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig1.gif

Fig. 1. Invariance d'Žchelle facteur 2 pour 15 particules. En ordonnŽes, les valeurs de X pour les 15 particules fondamentales.

 

Le facteur d'invariance de la gamme tempŽrŽe

Dans l'ordre du clavier musical, les notes vont du fa au do# supŽrieur.

Jean-SŽbastien Bach fit franchir ˆ la pratique musicale une Žtape considŽrable en adoptant la gamme tempŽrŽe, dans laquelle tous les intervalles sont des demi-tons Žgaux entre eux et au douzime de l'octave. La transposition ou changement de tonique devenait ainsi beaucoup plus facile qu'auparavant. L'intervalle diatonique ainsi dŽfini vaut un facteur racine douzime de 2 ou 21/12. DŽsignons par la lettre b ce facteur.

b = 2 1/12 = 1,059.463.

 

Invariance d'Žchelle facteur b (gamme tempŽrŽe)

Rappelons que le nom des notes se rŽptent ˆ chaque octave : un facteur deux ou puissance entire de deux ne change pas le nom d'une note. On peut toujours ramener une frŽquence choisie, par rŽduction d'octaves appropriŽes, ˆ l'intŽrieur d'une octave dŽterminŽe. C'est ainsi que nous pouvons dŽcrire la frŽquence f de l'Žlectron comme voisine du la normal, car, ˆ plusieurs octaves ou ˆ plusieurs facteurs 2 prs, cette frŽquence vaut 428,7 Hz. Le la normal admis de nos jours vaut 440 Hz.

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig2.gif

Fig. 2. Invariance d'Žchelle facteur b pour les particules fondamentales.

Une bonne manire de figurer cette comparaison est celle de la figure 2, o l'intervalle de l'octave occupe un cercle horaire, avec l'Žlectron placŽ ˆ midi. Le proton est au sol ˆ 10 heures et le boson de jauge au do ˆ 3 heures, etc. Avant d'appara”tre dans cette figure, les frŽquences ont ŽtŽ divisŽes par deux un nombre suffisant de fois pour les ramener dans les limites de l'octave renfermant la frŽquence de l'Žlectron prise comme la ˆ 427,3 Hz.

Si l'accord Žtait parfait, le rayon marquant chaque particule se placerait exactement sur l'une des positions horaires marquŽes par un pointillŽ. Chaque particule tomberait sur une heure juste et sur un demi-ton exact. On voit qu'il n'en est pas ainsi et les incertitudes sur les valeurs exactes des masses ne peuvent pas expliquer la totalitŽ des Žcarts observŽs. Par exemple, pour le proton, l'Žcart est de 11 centimes d'heure ou de demi-ton diatonique. Si l'on voulait faire appara”tre cet Žcart en minutes, le proton serait reprŽsentŽpar deux aiguilles, l'une qui est figurŽe Žtant l'aiguille des heures, l'autre Žtant celle des minutes serait ˆ la position de 6 minutes et 6 diximes aprs midi : en bref, le proton est ˆ 10 heures et 6 minutes et semblablement, le boson de jauge est ˆ 3 heures et 13 minutes, etc.

On peut mettre en Žvidence ces fractions de demi-ton marquant l'imperfection de l'accord entre les masses et les places exactes que l'invariance d'Žchelle leur assignerait. On peut tout autant s'Žtonner que l'accord ne soit pas plus imparfait, alors que le domaine des frŽquences concernŽes touche 17 octaves. Cela veut dire que mme pour le boson de jauge W±, la masse se fixe trs prs de l'un des degrŽs de l'Žchelle d'invariance, au sein d'une octave dont le la possde une frŽquence valant 131.072 fois celle de l'Žlectron.

Tout cela vaut pour les invariances d'Žchelle dans une gamme tempŽrŽe.

Cependant, la gamme tempŽrŽe fut prŽcŽdŽe par des gammes de diverses descriptions donnant Žgalement 12 notes par octave, valant approximativement ceux de la gamme tempŽrŽe. Si l'on se rŽfre ˆ l'histoire de la musique, on y apprend que la structure de ces gammes anciennes posait des problmes qui excluaient certaines transpositions qui conduisaient ˆ des discordances excessives, entre autres celles faisant passer de la tonalitŽ en do ˆ une tonalitŽ en mi. Leur multiplicitŽ rendait en outre impossible la musique symphonique parce que chaque instrument avait ses rgles propres d'accord et d'exŽcution.

Il serait indiquŽ d'essayer de remplacer, dans l'octave de la figure 2, les intervalles diatoniques Žgaux par ceux, inŽgaux, de ces diverses gammes. Avant mme d'avoir essayŽ ces remplacements, il para”t assez Žvident que l'une quelconque de ces gammes pourrait amŽliorer l'accord entre les frŽquences des particules et l'Žchelle adoptŽe. Des remarques communiquŽes par Langlet  au cours du XIVe congrs m'ont encouragŽ ˆ rŽaliser les calculs requis.

Gammes et intervalles

Rappelons que les gammes anciennes distinguaient dises d'une note et bŽmols de la note supŽrieure, alors que la gamme tempŽrŽe les confond. Ces gammes comprenaient donc, en principe, 21 valeurs par octave.

Les gammes les plus connues sont celles de Pythagore qui procde par quintes successives et celle de Zarlino, qui fait usage des rapports d'entiers simples. Tous les rapports de frŽquences de la gamme de Pythagore sont obtenus par les puissances successives de 3 ramenŽes ˆ une octave unique. Prenons do1 pour tonique et procŽdons par quintes montantes. Le do supŽrieur est atteint ˆ la puissance 12e et il est 1,36 % trop haut.

 

Tableau III Gamme de Pythagore

Quintes

Notes

Puissance de 3

Rapports

do1

1

1

sol

3

1,5

9

1,125

la

27

1,6875

mi

81

1,265625

si

243

1,8984375

fa#

729

1,423828125

do#

2187

1,06787109375

sol#

6561

1,601806640625

rŽ#

19683

1,20135498046875

la#

59049

1,802032470703125

fa

177147

1,3515243530273438

do2

531441

1,0136432647705078

Dans la gamme de Pythagore, les frŽquences obtenues pour chacune des notes de la gamme sont toutes systŽmatiquement plus ŽlevŽes que dans la gamme diatonique. Les Žcarts apparaissent dans la dernire colonne du Tableau IV, dans des unitŽs telles qu'un demi-ton diatonique vaut 0,059.463

 

Tableau IV Gamme de Pythagore

frŽquences croissantes

Quintes, do = 0

Octave

L2frŽq."Q"

D L2 =

"Q" - Diaton.

do

0

0

0

do#

7

0,09474

0,0114

2

0,16993

0,00326

rŽ#

9

0,26466

0,01466

mi

4

0,33985

0,00652

fa

11

0,50978

0,00978

fa#

 

 

 

sol

1

0,58496

0,00163

sol#

8

0,6797

0,01303

la

3

0,75489

0,00489

la#

10

0,84963

0,01629

si

5

0,92481

0,00815

do

12

1,01955

0,01955

 

Tableau V

DŽviations aux octaves dans les gammes de Pythagore

Octave de dŽpart 1,000.00

Octave

DŽviation

1

1,013.64

2

1,027.47

3

1,041.49

4

1,055.70

5

1,070.10

10

1,145.12

20

1,311.30

40

1,719.51

60

2,254.80

 

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig3.jpg

Fig. 3. On montre les Žcarts entre la hauteur X dans la gamme de Pythagore et la hauteur dans la gamme diatonique. La hauteur selon Pythagore est trop ŽlevŽe.

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig4.jpg

Fig. 4. Le do1 est ˆ 0 heure midi. Un tour vaut une octave. Les hauteurs successives X apparaissent en fraction d'un tour pour la gamme de Pythagore. Les intervalles sont des demi-tons inŽgaux. Le do2 appara”trait ˆ 0,1637 heure ˆ droite de midi.

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig5.jpg

Fig. 5. Gamme diatonique. Tous les demi-tons sont Žgaux.

La valeur exacte de 2 est de la plus grande importance en physique classique et, nous l'avons reconnu ci-dessus, pour l'invariance facteur 2 des particules. Cela suggre de considŽrer avec mŽfiance une gamme telle que celle de Pythagore qui ne conduit pas ˆ cette valeur exacte mais qui introduit une dŽviation de plus d'un pour cent ˆ l'octave et presque un quart de ton aprs deux octaves. Les dŽviations aux octaves successives sont ŽnumŽrŽes au Tableau V sous la forme d'un facteur.

 

Tableau VI

Gamme de Zarlino

Z - d, L2

idemX12, Lb

do = 1

do# = 15/16 rŽ

-0,00652

-0,07821

rŽ = 9/8

0,00326

0,0391

rŽ# = 15/16 mi

-0,02118

-0,25418

mi = 5/4

-0,01141

-0,13686

fa = 4/3

-0,00163

-0,01955

fa# = 15/16 sol

-0,00815

-0,09776

sol = 3/2

0,001629

0,01955

sol# =15/16 la

-0,02281

-0,27373

la = 5/3

-0,01303

-0,15641

la# = 15/16 si

-0,01955

-0,23463

si = 15/8

-0,00978

-0,11731

do = 2

-1

0

 

La gamme de Zarlino est fondŽe sur une sŽrie des nombres entiers, ramenŽs ˆ un rapport entre 1 et 2. Cette fois, le do supŽrieur est atteint exactement.

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig6.jpg

Fig. 6. ƒcarts entre les hauteurs dans la gamme de Zarlino et dans la gamme diatonique. Les hauteurs selon Zarlino sont trop basses sauf rŽ et sol

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/AnalyseFig7.jpg

Fig. 7. Les hauteurs successives X apparaissent en fraction d'un tour pour la gamme de Zarlino. Les intervalles sont des demi-tons inŽgaux. Le do2 appara”t exactement ˆ midi.

--AccueilPierreDemers.html 4eforceter.html

============================

Ann. 3. http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/4eforceter.html

http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/Tabl.periodiqueparticules.html

Tableau pŽriodique des particules

Tableau pŽriodique des particules

Pierre Demers

QuŽbŽcium International

D'aprs les travaux prŽcŽdents, voici un tableau des frŽquences associŽes aux particules fondamentales. On sait qu'une frŽquence f = mc2/h est associŽe ˆ toute particule de masse M. Si M est en Mev :

f = M 0,409.62 269.

Modulo 2. Notes seules.

Les frŽquences sont divisŽes par 2 un nombre de fois suffisant pour qu'elles tombent dans l'octave renfermant le la normal du diapason 440 Hz. Ce nombre est trs grand (de 58 ˆ 75). Les notes rŽsultantes sont comprises entre le fa et le do# supŽrieur. L'Žlectron est un la situŽ 58 octaves au dessus du la normal, diversement appelŽ la2 et la3. 9 cases sur une rangŽe horizontale sont occupŽes par 26 particules.

Tableau 1

Modulo 2. Tableau des notes des particules.

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/octaveqter.jpg

ƒcoutez : 440 Hz, Diapason http://www.theoriedelamusique.com/musique/diapason.html

Tabl.2isolŽ.html

Notes et numŽros de l'octave

On distingue le numŽro de l'octave pour chaque particule. Il y a maintenant 18 rangŽes, l'Žlectron occupe la rangŽe 1 et la particule W, la rangŽe 18. Passer d'une rangŽe ˆ la rangŽe supŽrieure reprŽsente un facteur 2 sur la frŽquence.17 passages reprŽsentent un facteur 131072.. Plusieurs rangŽes intermŽdiaires sont vides, On parcourt les cases de gauche ˆ droite et de bas en haut. La pŽriode est de 12 cases ou d'une octave et les particules situŽes dans la mme colonne ont la mme note.

Tableau 2

Tableau pŽriodique des notes des particules.

Octave

mi

fa

fa#

sol

sol#

la

la#

si

do

do#

rŽ#

18

 

 

 

 

 

 

 

 

W+

W-

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B+

B-

 

 

13

 

W -

t +

t -

D+

D-

Ds+

Ds-

D*s+

D*s-

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

P+

p-

 

 

 

S +

S -

 

X -

 

 

11

 

 

 

 

K+

K-

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

m +

m -

 

 

 

 

p +

p -

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

e+

e-

 

 

 

 

 

 

Octave

mi

fa

fa#

sol

sol#

la

la#

si

do

do#

rŽ#





g



g



g





g



g

Notes du clavier

L'octave 1 renferme le la60, 58e au dessus du la2 du diapason.

Liens FreqMatelt1.html NouvelleanalyseEc197.html 4eforceter.html --AccueilPierreDemers.html

Description : http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/QuatrforceFig1.gif

============================

 

- 30 -