PremiersBase30, http://www.lisulf.quebec/PremiersBase30.htm,

Système du Québécium.

Les Suites des Premiers en Base 30.

Pierre Demers.

Traduction interdite

18XI2012, version du 16XII2012.

Sommaire.

On expose que, dans la théorie des nombres premiers, 30 est associé à la symétrie 4.

Une recherche de symétrie dans la suite des premiers.

Seuls les impairs peuvent être des premiers au-delà de 2. Dans une recherche de symétries dans la suite des premiers, produisons un affichage cyclique du 1^er cycle de la suite des entiers dans une base de numération B, qui alignerait les impairs en colonnes totalisant B. En plus de 0 et B/2, ce cycle comprend au minimum 1 et B-1. On imagine un miroir de symétrie comprenant B/2 à droite. Pour que B/2 soit un entier, il faut avoir B ³ 4 ou B-1 ³ 3. En d’autres termes, le plus petit cycle est 0, 1, 2, 3, avec une colonne unique comprenant les 2 premiers 1 et 3.

1…..→ |

B 0 B/2 B ≥4

B-1…← |

Voici, avec B = 4, 6, 8… Le miroir est placé au chiffre égal à B/2. Les premiers sont mis en évidence. Chaque colonne totalise B. À droite, le nombre de colonnes de premiers. Table 1.

Table 1. Table cyclique de la suite des entiers

dans le système de numération base B dans leur 1^er cycle.

1

B = 4 0 2 1 colonne

3

1

B = 6 0 3 1 colonne

5

Aux lignes haut et bas, on n’écrit pas les pairs mais on les compte.

1 3

B = 8 0 4 2 colonnes

7 5

1 3

B = 10 0 5 1 colonne

9 7

1 3 5

B = 12 0 6 2 colonnes

11 9 7

1 3 5

B = 14 0 7 2 colonnes

13 11 9

1 3 5 7

B = 16 0 8 2 colonnes

15 13 11 9

1 3 5 7

B = 18 0 9 3 colonnes

17 15 13 11

1 3 5 7 9

B = 20 0 10 3 colonnes

19 17 15 13 11

1 3 5 7 9

B = 22 0 11 2 colonnes

21 19 17 15 13

1 3 5 7 9 11

B = 24 0 12 4 colonnes*

23 21 19 17 15 13

1 3 5 7 9 11

B = 26 0 13 2 colonnes

25 23 21 19 17 15

1 3 5 7 9 11 13

B = 28 0 14 2 colonnes

27 25 23 21 19 17 15

1 3 5 7 9 11 13

B = 30 0 15 4 colonnes*

29 27 25 23 21 19 17

1 3 5 7 9 11 13 15

B = 32 0 16 3 colonnes

31 29 27 25 23 21 19 17

1 3 5 7 9 11 13 15

B = 34 0 17 3 colonnes

33 31 29 27 25 23 21 19

1 3 5 7 9 11 13 15 17

B = 36 0 18 4 colonnes*

35 33 31 29 27 25 23 21 19

1 3 5 7 9 11 13 15 17

B = 38 0 19 2 colonnes

37 35 33 31 29 27 25 23 21

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

B = 40 0 20 3 colonnes

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

B = 42 0 21 5 colonnes

41 39 37 35 33 31 29 27 25 23

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

B = 44 0 22 5 colonnes

41 39 37 35 33 31 29 27 25 23

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

B = 46 0 23 3 colonnes

45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

B = 48 0 24 6 colonnes

47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

B = 50 0 25 4 colonnes*

49 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

B = 52 0 26 3 colonnes

51 49 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

B = 54 0 27 6 colonnes

53 51 49 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

B = 56 0 28 3 colonnes

55 53 51 49 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

B = 58 0 29 3 colonnes

57 55 53 51 49 47 45 43 41 39 37 35 33 31

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

B = 60 0 30 6 colonnes

59 57 55 53 51 49 47 45 43 41 39 37 35 33 31

*4 colonnes : B =24, 30, 36, 50

…

Font apparaître 4 colonnes de premiers les bases 24, 30, 36 et 50.

Criblage en base B = 10.

Sauf 2 et 5 dans la 1^re dizaine, si on cherche à reconnaître quels entiers sont des premiers au-delà de 5, il faut éviter ceux dont l’écriture se termine à droite par les pairs 2, 4, 6, 8 ou 0 et l’impair 5. La règle laisse comme candidats, après 1, 2 et 5, les entiers se terminant par 1, 3, 7, 9 et peut se résumer ainsi. On admet 1 comme premier. Voici la règle.

kB +1, +3, +7, +9, k=0 ou entier,

ou, en évitant les résultats négatifs :

kB ±1, ±3, k entier >0.

La liste des candidats peut s’écrire dans des cycles de 1 à 9, 11 à 19 etc.

La numération base 30. Le premier 1.

On écrit la suite des entiers dans la base 30 = 1*2*3*5, produit des 4 1ers premiers en comptant 1 comme premier.

Produit et somme par 1. Le premier 1 se distingue de tous les autres parce qu’il peut être appliqué multiplicativement à un nombre N quelconque un nombre de fois indéfini de fois sans altérer la valeur de N. Le premier 1 est un facteur identité ou neutre, qu’il soit présent ou absent, cela peut être sans conséquence. Il en est autrement si son application est additive.

Dans l’écriture cyclique choisie, les entiers en regard forment une paire totalisant la base B ou un multiple impair de celle-ci.

En base B = 30, dans le 1^er cycle, dans la suite des entiers de 0 à 29, il se trouve 8 premiers pairés situés en colonnes de 2.

il y a 8 premiers en regard 2 par 2.

Il y a 4 paires de premiers pairés. Qu’en est-il dans les cycles suivants? Dans ce qui suit, les premiers sont mis en évidence.

Théorème.

En base 30, aucun cycle de numération ne renferme 8 premiers sauf le 1^er allant de 0 à 29. Ce qui suit démontre ce théorème jusqu’à 3600, au 119^e cycle.

Criblage en base 30.

Si on écrit les cycles l’un au dessus de l’autre, avec un miroir de symétrie placé à 15, les premiers apparaissent exclusivement dans l’une de 4 colonnes. Voici l’écriture complète du 1^er cycle, qui requiert 16 colonnes.

De 0 à 29.

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

.... 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 …

Voici l’écriture de 2^e cycle, celui commençant par 30.

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

.... 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 …

Les cycles diffèrent par l’addition à chaque entrée de 30k, avec k valant un entier. k vaut 0 entre 0 et 29, 1 entre 31 et 59 etc

Après l’entrée de 2 et de 5, un 1^er criblage nous permet d’omettre les colonnes de pairs y compris celles se terminant par 0, il faut aussi omettre celles les entrées se terminent par 5, qui sont des multiples de 5. Il ne reste alors que les colonnes d’entrées se terminant par les impairs 1, 3, 7 ou 9. En base 10 ou dans l’écriture adoptée ici, les premiers sont à chercher dans 4 colonnes, qui sont seules préservées dans ce qui suit. La 2^e trentaine ne contient que 7 premiers, 49 étant un non-premier ou un composé, composant 3 colonnes de premiers.

30 31 37 41 43

59 53 49 47

Les cycles des entiers en base 30.

Voici un extrait de l’examen étendu aux entiers inférieurs à 360. Le 1^er cycle de tous, celui qui commence par 0, contient 4 colonnes complètes de 2 premiers chacune; répétons : dans le 1^er cycle, de 0 à 29,

il y a 8 premiers en regard 2 par 2,

composant 4 colonnes.

Nous allons voir que ce 1^er cycle se distingue de tous les autres examinés, en ce qu’il contient 4 colonnes complètes de premiers ou 8 premiers. Les autres cycles examinés en contiennent 7 tout au plus.

Appelons k le nombre des trentaines. Chaque paire de premiers en regard totalise 30 dans le 1^er cycle k = 0, 90 dans le 2^e k =1, 150 dans le 3^e cycle, en général B(1+2k) avec B=30. Dans la Table 2, les facteurs des candidats composés sont explicités. La fraction désigne le nombre de premiers présents sur les 8 candidats. Table 2.

Pour savoir si un nombre est entier ou pour connaître ses facteurs s’il est composé, par l’opération s’appelle factorisation ou décomposition en facteurs, on peut utiliser Réfs 1, 2, 3.

Table 2.

Base B=30=1*2*3*5, k entier.

Table des premiers inférieurs à 360, deux lignes par trentaine, avec l’effet d’un miroir placé à kB+15.

La fraction signale combien de premiers sur 8 le maximum possible

Une ligne à part pour les premiers 2, 3, 5; ils ne forment pas de paires de premiers.

kB=0, 8/8

1 7 11 13

29 23 19 17

kB=30, 7/8

31 37 41 43

59 53 49 47 7*7

kB=60, 7/8

61 67 71 73

89 83 79 77 7*11

kB=90, 6/8

91 97 101 103 7*13

119 113 109 107 7*17

kB=120, 5/8

121 127 131 133 11*11 7*19

149 143 139 137 11*13

kB=150, 6/8

151 157 161 163 7*23

179 173 169 167 13*13

kB=180, 5/8

181 187 191 193 11*17

209 203 199 197 11*19 7*29

kB=210, 7/8

211 217 221 223 7*31

239 233 229 227

kB=240, 1/8

241 247 251 253 13*19 11*23

269 263 259 257 7*37

kB=270, 1/8

271 277 281 283

299 293 289 287 13 * 23, 17² , 7 * 41

kB=300, 1/8

301 307 311 313 7 * 43

329 323 319 317 7 * 47, 17 * 19, 11 * 29

kB=330, 2/8

331 337 341 343 11*31, 7*7*7

359 353 349 347

…

Voici une table établie d’après celle donnée par Villemin pour les entiers inférieurs à 3560, limite portée à 3600, k=120. Réf. 3.

Dans la table de cet auteur, le premier 179 apparaît 2 fois, la 1^re apparition seule est seule à conserver, et les premiers 233 et 419 ne sont pas à leurs places.

Une règle cavalière. Villemin donne cette règle, pour les premiers P candidats supérieurs à 30 dans la base 30. http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/mille.htm

Elle peut se transformer en une règle cavalière, cavalière parce qu’elle sa formulation s’applique à cheval sur 2 trentaines successives.

Avec P supérieur à 11, k entier positif.

Équation 1. P = 30k (±1, ±7, ±13, ±17)

La concrétisation de cette règle conduit à écrire la Table 3 en 8 colonnes de candidats. Dans cette table, une seule ligne renferme 8 candidats valables. Elle renferme 3 exemples de 8 candidats successifs valables avec une seule valeur de k dans l’équation 1 :

L’écriture n’est pas comme Table 2: seuls les premiers apparaissent, avec des vides pour les composés, et il y a une seule ligne par cycle. On a écrit 2, 3 et 5 sur une ligne distincte. Le nombre de colonnes occupées va de 1 à 8, il figure à la droite de chaque ligne occupée. La ligne verticale double marque le miroir de symétrie 30/2.

Table 3.

Base B=30=1*2*3*5, k entier.

Table des premiers inférieurs à 3600,

k=0 à 119.

Une ligne par trentaine.

La ligne double verticale marque la position du miroir de symétrie, placé à kB+15..

k		kB	1	2	3	4	5	6	7	8	/8
			2	3	5						3
0		0	1	7	11	13	17	19	23	29	8
1		30	31	37	41	43	47		53	59	7
2		60	61	67	71	73		79	83	89	7
3		90		97	101	103	107	109	113		6
4		120		127	131		137	139		149	5
5		150	151	157		163	167		173	179	6
6		180	181		191	193	197			199	5
7	210		211			223	227	229	233	239	6
8		240	241		251		257		263	269	5
9		270	271	277	281	283			293		5
10		300		307	311	313	317				4
11		330	331	337			347	349	353	359	6
12		360		367		373		379	383	389	5
12		390		397	401			409		419	4
14		420	421		431	433		439	443	449	6
15		450		457	461	463				479	4
16		480		487	491			499	503	509	5
17		510			521	523					2
18		540	541	547			557		563	569	5
19		570	571	577			587		593	599	5
20		600	601	607		613	617	619			5
21		630	631		641	643	647		653	659	6
22		660	661			673	677		683		4
23		690	691		701			709		719	4
24		720		727		733		739	743		4
25		750	751	757	761			769	773		5
26		780		787			797			809	3
27		810	811		821	823	827	829		839	6
28		840				853	857	859	863		4
29		870		877	881	883	887				4
30		900		907	911			919		929	4
31		930		937	941		947		953		4
32		960		967	971		977		983		4
33		990	991	997				1009	1013	1019	5
34		1020	1021		1031	1033		1039		1049	5
35		1050	1051		1061	1063		1069			4
36		1080		1087	1091	1093	1097		1103	1109	6
37		1110		1117		1123		1129			3
38		1140	1151			1153			1163		3
39		1170	1171		1181		1187		1193		4
40		1200	1201			1213	1217		1223	1229	5
41		1230	1231	1237				1249		1259	4
42		1260					1277	1279	1283	1289	4
43		1290	1291	1297	1301	1303	1307			1319	6
44		1320	1321	1327							2
45		1350			1361		1367		1373		3
46		1380	1381					1399		1409	3
47		1410				1423	1427	1429	1433	1439	5
48		1440		1447	1451	1453		1459			4
49		1470	1471		1481	1483	1487	1489	1493	1499	7
50		1500	1511						1523		2
51		1530	1531			1543		1549	1553	1559	5
52		1560		1567	1571			1579	1583		4
53		1590		1597	1601		1607	1609	1613	1619	6
54		1620	1621	1627			1637				3
55		1650		1657		1663	1667	1669			4
56		1680				1693	1697	1699		1709	4
57		1710			1721	1723			1733		3
58		1740	1741	1747		1753		1759			4
59		1770		1777		1783	1787	1789			4
60		1800	1801		1811				1823		3
61		1830	1831				1847				2
62		1860	1861	1867	1871	1873	1877	1879		1889	7
63		1890	1901	1907	1913						3
64		1920	1931	1933						1949	3
65		1950	1951						1973	1979	3
66		1980		1987		1993	1997	1999	2003		5
67		2010	2011	2017			2027	2029		2039	5
68		2040				2053			2063	2069	3
69		2070			2081	2083	2087	2089		2099	5
70		2100			2111	2113				2129	3
71		2130	2131	2137	2141	2143			2153		5
72		2160	2161					2179			2
73		2190				2203	2207		2213		3
74		2220	2221				2237	2239	2243		4
75		2250	2251				2267	2269	2273		4
76		2280	2281	2287		2293	2297			2309	5
77		2310	2311	2333	2339						3
78		2340	2341	2347	2351		2357				4
79		2370	2371	2377	2381	2383		2389	2393	2399	7
80		2400			2411		2417		2423		3
81		2430		2437	2441		2447			2459	4
82		2460		2467		2473	2477				3
83		2490				2503					1
84		2520	2521		2531			2539	2543	2549	5
85		2550	2551	2557						2579	3
86		2580			2591	2593				2609	3
87		2610		2617	2621				2633		3
88		2640		2647			2657	2659	2663		4
89		2670	2671	2677		2683	2687	2689	2693	2699	7
90		2700		2707	2711	2713		2719		2729	5
91		2730	2731		2741			2749	2753		4
92		2760		2767			2777			2789	3
93		2790	2791	2797	2801	2803				2819	5
94		2820				2833	2837		2843		3
95		2850	2851	2857	2861					2879	4
96		2880		2887			2897		2903	2909	4
97		2910		2917			2927			2939	3
98		2940				2953	2957				2
99		2970	2971							2999	2
100		3000	3001		3011			3019	3023		4
101		3030		3037	3041			3049			3
102		3060	3061	3067				3079	3083	3089	5
103		3090						3109		3119	2
104		3120	3121				3137				2
105		3150				3163	3167	3169			3
106		3180	3181	3187	3191				3203	3209	5
107		3210		3217	3221			3229			3
108		3240	3251			3253	3257	3259			4
109		3270	3271							3299	2
110		3300	3301	3307		3313		3319	3323	3329	6
111		3330	3331			3343	3347			3359	4
112		3360	3361		3371	3373				3389	4
113		3390	3391				3407		3413		3
114		3420				3433				3449	2
115		3450		3457	3461	3463	3467	3469			5
116		3480			3491			3499			2
117		3510	3511	3517			3527	3529	3533	3539	6
118		3540	3541	3547			3557	3559			4
119		3570	3571		3581	3583			3593		4
120		3600
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Théorie des nombres. Trente et symétries 4.

La théorie mathématique associe le nombre 30 à la symétrie 4 de diverses manières que j’appelle des modes. Voici un répertoire de ces modes.

A Multiplication de premiers.

On trouve cette assertion : « Trente est le plus petit nombre sphénique », c’est-à-dire produit de 3 premiers. Cela est vrai si on déclare que 1 n’est pas un premier. Sinon, le plus petit sphénique serait 15. Voyez la discussion de Villemin sur « Un est-il un premier?» C’est une question de convention et d’une certaine commodité selon lui. Réfs 4, 5, 6.

Si on admet 1 comme étant un premier, on peut dire :

« Trente est le plus petit nombre produit des 4 1ers premiers, 1 n’étant pris qu’une fois. »

30 = 1*2*3*5

Noter que 30 ne se divise pas sans reste par 4.

B Partition quaternaire en puissances 2 d’entiers .

Une partition d’un entier est une manière de l’exprimer en une somme de termes étant chacun un entier. Cette somme peut être binaire, ternaire, quaternaire etc selon le nombre de termes.

Une partition de 30 est la somme quaternaire des 4 carrés d’entiers les plus petits :

1 ² +2 ²+3 ²+4 ² = 1+4+9+16 = 30

(30 = 5+25 ou en base 5 : 1.0 + 1.0.0 = 1.1.0)

C Partitions binaires en 2 premiers. Il y en a 4.

C1Tel que décrit longuement plus haut, trente peut s’écrire en 4 partitions binaires étant chacune la somme de 2 premiers.

30 = 1+29 = 7+23 = 11+19 = 13+17

C2 Distribution régulière de ces 4 partitions. Leurs espacements successifs vont en progression arihmétique de raison 2 : 6, 4, 2 et de moyenne 4. Voici d’après Table 1. Les 4 sommations verticales des colonnes de premiers donnent chacune 30. Une sommation horizontale nouvelle donne 4*30 = 120. Fig. 1.

1 3 5 7 9 11 13

B = 30 0 15 4 colonnes*

29 27 25 23 21 19 17

Sommations: 30 30 30 30 = 120 .

Espacements: 6 4 2 .

Fig. 1. Extrait de Table 1 augmenté. Les 14 pairs entre 0 et 29 sont comptés mais non écrits. Les espacements forment une progression arithmétique de raison 2 en 3 termes moyenne 4. Chaque sommation des colonnes donne 30, la sommation en ligne donne 120.

D Partitions quaternaires de 30.

Partition quaternaire de 30 dans les 4 1^ers multiples de 3, ou l’addition des 4 1ers termes d’une progression arithmétique ayant 3 pour 1^er terme et 3 pour raison. Il y a 4 termes.

3+6+9+12 = 30

Une autre partition quaternaire, progression géométrique ayant 2 pour 1^er terme 2 et 2 pour raison. Il y a 4 termes.

2+4+8+16 = 30

E Géométrie linéaire 1D, plane 2D, dans l’espace 3D. « Nombres figurés ».

Graphisme des nombres : on peut remplacer l’écriture en chiffres par la figuration 1D sur une ligne droite, 2D sur un plan ou 3D dans l’espace, de formes régulières régulièrement assemblées : points, triangles, carrés, de solides cubes, de sphères etc. Ce sont des nombres linéaires, triangulaires, carrés, hexagonaux, cubiques, pyramidaux… On pourrait aussi bien les appeler des représentations géométriques régulières des nombres. Réfs 7, 8.

Ce sont les nombres figurés. Voici 30 en nombre figuré 1D. Fig. 2.

----•----••••----••••• ••••----••••• ••••• ••••• •----

Fig. 2. Trente, sa partition 1, 4, 9, 16 en nombre figuré 1D sur une droite. Les termes sont en progression régulière.

Puis en nombre figuré 2D carré pyramidal. Fig. 3.

Fig. 3. Trente en nombre figuré pyramidal 2D.

Puis en nombre figuré 3D pyramidal, d’abord sous l’aspect d’une pyramide de cubes 3D. Fig. 4.

Fig. 4. Trente en nombre figuré 3D en pyramide de cubes. Réf. 9.

Et encore en nombre figuré 3D tétra-octaédrique, l’octaèdre mis en cause étant le tétraèdre tronqué d’Archimède. Réfs 5, 6. Ces octaèdres s’associent de façon jointive pour donner des formes s’inscrivant dans un tétraèdre, en nombres cumulatifs 1, 5, 14, 30. Trente est le 4^e nombre tétra-octaédrique. Fig. 5. Réfs 10, 11, 12.

Fig. 5. Trente, nombre figuré 3D tétra-octaédrique. Les tétra-octaèdres, qui sont des tétraèdres tronqués d’Archimède, s‘assemblent jointivement. Les termes sont en progression régulière. Vue 2D de la vue 3D manipulable. On ouvre cette dernière en déclenchant

Tétraèdre tronqué augmenté.skp, il faut ouvrir le logiciel Sketchup.

Les portions grises sont vides et ont la forme d’un petit tétraèdre de Platon. Cette pyramide s’inscrit dans un tétraèdre de Platon. Réfs 10, 11, 12, 13.

F Le nombre 120.

Des opérations telles que ci-dessus, qui associent 30 et symétries 4, sont des partitions, divisant 30 en 4 entiers pouvant être inégaux, constituant une analyse du contenu de 30. Elles sont d’addition. Elles peuvent aussi être de multiplication, ce qui résulte des propriétés de ce contenu et fait apparaître le nombre 120 comme dans Fig. 1, comme dans Fig. 1, comme la somme de 4 colonnes de premiers.

Le nombre 120 peut se figurer 3D par 120 objets : des cubes, des boules, des rhombododécaèdres, des tétra-octaèdres, associés et s’inscrivant dans une pyramide de base carrée ou dans un tétraèdre de Platon. Un exemple, Fig. 6.

Fig. 6. 120 boules assemblées en 4 niveaux doubles de 4, 16, 36 et 64 soit 4 fois 1, 4, 9 et 16, s’inscrivant dans un tétraèdre de Platon. Réf. 14.

Conclusion. Nombre 30 et symétrie 4. Trente nombre magique.

L’évidence est multiple : par ses propriétés mathématiques énumérées de A à F le nombre 30 se trouve associé par nécessité à plusieurs modes de symétrie 4, et cela peut expliquer qu’il joue le rôle comme nombre magique, discuté dans une autre publication. Ce rôle semble lui appartenir en exclusivité parmi la collection des entiers. Réf. 6.

Les nombres 24, 36 et 50 présentent, en commun avec 30, le mode C1. Fig 7.

Il ne semblent pas présenter les autres modes de A à F.

1 3 5 7 9 11

B = 24 0 12 4 colonnes*

23 21 19 17 15 13

1 3 5 7 9 11 13 15 17

B = 36 0 18 4 colonnes*

35 33 31 29 27 25 23 21 19

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

B = 50 0 25 4 colonnes*

49 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27

Fig. 7. Extrait de Fig. 1. B = 24, 36, 50. On voit que ces nombres peuvent s’écrire en 4 partitions binaires étant chacune la somme de 2 premiers :

24 = 1+23 = 5+19 = 7+17 = 11+13;

36 = 5+31 = 7+29 = 13+23 = 17+19;

50 = 3+47 = 7+43 = 13+37 = 19+31.

Ce qui est le mode de symétrie C1.

Il reste à comprendre pourquoi le nombre 30 est doué de modes de symétrie aussi nombreux et en exclusivité.

Aspect philosophique.

En référence au paragraphe A ci-dessus. Trois dizaines, nombre sphénique 3 en en plus du facteur 1 identité, partition quaternaire de 30 dans les 4 1^ers multiples de 3 : cela donne importance au nombre 3 dans l’organisation mathématique de 30 et par là au caractère essentiel de la tridimensionnalité, examiné philosophiquement par Pascal Mueller-Jourdan : « la tridimensionnalité … est le substrat de toutes les formes naturelles». Réf. 15.

Réfléchir sur une connexion possible avec 30 naturellement nombre magique. Réfs 16, 17, 18, 19.

Remerciements.

J’invite Jean-Luc Gouin et Aubert Daigneault à m’adresser leurs commentaires. Je remercie Patrick Demers, expert informaticien, pour son aide.

Références.

Réf. 1. Mathnet,

decomposition-nombres-premiers, info@netmaths.net

Réf. 2. Table et répartition des nombres premiers inférieurs à 10000.

betrema poly annexes premiers

Réf. 3. Gérard Villemin,

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/DiMille.htm

Réf. 4. Gérard Villemin,

TYPMULTI Sphenique

Réf. 5. Émile Borel 2001. Un est-il premier?

onversity.net/cgi-bin/progactu/actu_aff.cgi?Eudo=bgteob&P=N200111

Réf. 6. Gérard Villemin. Un est-il premier?

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Un.htm

Réf. 7. Roger V. Jean,

http://www.recreomath.qc.ca/dict_figure_nombre.htm,

Réf. 8. Gérard Villemin,

Wwwgvmm Geometri Nb Geomet,

http://yoda.guillaume.pagesperso-orange.fr/Bienvenu.htm,

« Mon but est double:, faire ressortir la magie qui existe au sein de chaque nombre et mettre ces nombres en perspective les uns par rapport aux autres. »

Réf. 9. Charles-É. Jean,

http://www.recreomath.qc.ca/dict_carre_np.htmRéf.

Réf. 10. Wiki, Tétraèdre tronqué.

wiki Tétraèdre tronqué

Réf. 11. Robert Ferréol 2005, Polyèdre archimédien,

polyedres archimediens , ferreol@mathcurve.com

Réf. 12. Charles-É. Jean,

recreomath tronque tetraedre

Réf. 13. Pierre Demers 2010,

Tableau3DOctaTT.htm

Réf. 14. Pierre Demers 2010,

QbtetraNveau.htm

Réf. 15. Pascal Mueller-Jourdan.

Contra Proclum. http://books.google.ca/books?id=ouYLv101jUQC&pg=PA120&lpg=PA120&dq=tridimensionnalit%C3%A9+du+monde&source=bl&ots=nmSieAYpK0&sig=pV6pMI8dYnDZzxFBx1O5tc12cfc&hl=fr&sa=X&ei=S9DJUL_3BKbm0gG6lYDIAQ&redir_esc=y#v=onepage&q=tridimensionnalit%C3%A9%20du%20monde&f=false

http://recherche.uco.fr/chercheurs/m-mueller-jourdan-pascal-6394.kjsp

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books.google.com/books?isbn=9004202463

pascal.mueller-jourdan@uco.fr,

« La tridimensionnalité n’est pas une quantité accidentelle,…elle est le 1^er substrat de toute la forme accidentelle. »

Réf. 16. Éliane Cousquer 1998, La fabuleuse histoire des nombres. Diderot Paris, 1998,

publimath irem univ-mrs.fr biblio AVM99020

Réf. 17. Pierre Demers 2012, Trente, nombre magique commun à plusieurs domaines du savoir,

Trente magique commun savoir

Réf. 18. Pierre Demers 2012,

Magique 30 finalité évolution homo

Réf. 19. Pierre Demers 2012Système du Québécium. Le plan de l’être humain est inscrit dans le nombre 30 de toute éternité.

plan humain 30 eternite

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