SSVolCompl1bis

26 avril 2008

http://www.lisulf.quebec/quebecium.html

Systme du QuŽbŽcium

Solides sans volume. ComplŽments.1

Pierre Demers

Traduction interdite

 

RŽsumŽ. J'ai montrŽ prŽcŽdemment qu'un processus de dŽrivation que j'appelle ici jonction, appliquŽ ˆ certains solides rŽguliers, analogue ˆ celui qui produit les solides coiffŽs, permet d'obtenir des solides n'enfermant aucun volume. Ë partir des 11 solides rŽguliers que j'admets, j'ai ainsi produit 4 solides sans volume. Ils se divisent en 2 catŽgories, le tŽtradre sans volume se distinguant des 3 autres parce que les surfaces qui le composent ont obligatoirement une seule face. Pour des raisons conceptuelles, je rŽservais le cas des 7 solides restants parce qu'ils seraient composŽs de surfaces ayant une seule face sur une partie seulement de leur Žtendue. Je crois maintenant  que cette objection n'est pas valable. Je prŽsente donc la possibilitŽ de 7 solides rŽguliers sans volume nouveaux, avec des figures reprŽsentant la jonction de 3 de certains d'entre eux : octadre sans volume, dodŽcadre sans volume, icosadre sans volume. Somme toute : il existe 11 solides rŽguliers sans volume, en plus des 11 solides rŽguliers normaux. Au total, il existe 22 solides rŽguliers.

 

Introduction.

Je rappelle ce que j'Žcrivais dans mon travail prŽcŽdent:

http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/QbSansvXI2007bis.htm

Dans le cas de l'octadre, du dodŽcadre et de l'icosadre rŽguliers, j'ai pu croire que le processus serait applicable, puisque les faces viennent 2 par 2 vis-ˆ-vis opposŽes parallles et de formes planes semblables. Cependant, il me para”t maintenant sans intŽrt parce que les faces opposŽes ne co•ncident pas par une pure translation. La translation seule suffit pous amener ˆ confondre 2 faces vis-ˆ-vis dans un plan unique, mais ˆ ce moment, leurs formes sont dŽcalŽes. Pour amener en co•ncidence leurs formes, il faudrait ajouter une rotation : 2¹/6 pour l'octadre et l'icosadre, 2¹/10 pour le dodŽcadre. Or, dans un souci de prŽservation des symŽtries choisies, j'exclus les rotations

(Le soulignŽ est actuel).

Fig. 1. Jonction de 2 faces opposŽes de l'octadre.

 

Fig. 2. L'octadre sans volume, plan.

 

J'ai changŽ d'opinion. Le processus peut fort bien se suffire, de translation sans rotation. Deux faces opposŽes de l'octadre oprent une jonction, elles viennent se joindre dans un plan unique et le dŽcalage angulaire de 2¹/6 dŽtermine 7 rŽgions de 3  types : 1o un hexagone o la surface a 2 c™tŽs; 2o 3 petits triangles n'ayant que le c™tŽ avant; 3o  3 petits triangles n'ayant que le c™tŽ arrire. Fig. 1. Comme dans le cas du tŽtradre, le processus fait appara”tre des surfaces n'ayant qu'un c™tŽ. Fig. 1.

Je donne le plan de l'octadre sans volume. Fig. 2.

Dans le cas du tŽtradre, il n'y a pas jonction, le processus de translation se termine avec l'apparition d'une face du type 2o. Fig. 3.

Fig. 3. Ptocessus pour une face du tŽtradre.

 

Jonction. Pour la commoditŽ, j'appelle ici jonction le terme du processus de translation qui donne lieu ˆ la disparition du volume enfermŽ dans un solide rŽgulier, et qui est particulirement facile ˆ comprendre dans le cas du cube. Fig. 4.

Fig. 4. Translation et jonction. Deux faces d'un cube.

 

Dans le cas du cube, il y a jonction de 2 faces opposŽes et formation d'un carrŽ ayant 2 c™tŽs, avant et arrire. Figs 5, 6

Fig. 5. Jonction de 2 faces opposŽes du cube.

 

Fig. 6. Le cube sans volume, plan.

 

Dans l'icosadre, les faces vis-ˆ-vis sont des triangles orientŽs mutuelement comme dans l'octadre; son cas est donc semblable ˆ celui de l'octadre. Fig. 7.

Fig. 7 Jonction de 2 faces opposŽes de l'icosadre.

 

Le cas du dodŽcadre est comparable ˆ celui de l'octadre les faces vis-ˆ-vis sont dŽcalŽes, cette fois de 2¹/10. Il y a un dŽcagone ˆ 2 c™tŽs et 10 triangles n'ayant qu'un c™tŽ. Fig. 8.

Fig. 8. Jonction de 2 faces opposŽes du dodŽcsadre.

 

Voilˆ donc pour les 5 solides de Platon. Le cas du rhombodod.cadre rŽgulier est comparable ˆ celui du cube. Les faces vis-ˆ-vis se superposent sans dŽcalage. Fig. 9.

Fig. 9  Jonction de 2 faces opposŽes du rhombododŽcadre sans volume.

 

Et voilˆ le cas du rhombodod.cadre rŽgulier ŽtoilŽ. Les faces vis-ˆ-vis se superposent sans dŽcalage. Fig. 10.

Fig. 10. Jonction de 2 faces opposŽes du rhombododŽcadre ŽtoilŽ sans volume. Chaque face est en 4 parties..

 

Conclusion. Les 22 solides rŽguliers.

Quant aux 11 solides sans volume. J'ai reprŽsentŽ 4 d'entre eux dans la rŽfŽrence.

¥TŽtradre rŽgulier sans volume 12

¥Cube sans volume 13

¥RhombododŽcadre rŽgulier sans volume 17

¥RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume 18

Je montre ci-dessus le commencement d'une reprŽsentation pour 3 autres.

¥Octadre rŽgulier sans volume 14

¥DodŽcadre rŽgulier sans volume 15

¥Icosadre rŽgulier sans volume 16

Quatre restent auxquels je n'ai donnŽ aucune illustration.

¥ Petit dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

¥ Grand dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

¥ Grand dodŽcadre sans volume

¥ Grand icosadre sans volume

 

Liste.des 22 solides rŽguliers, y compris 11 sans volume.

 

1. TŽtradre rŽgulier

2. Hexadre rŽgulier ou cube

3. Octadre rŽgulier

4. DodŽcadre rŽgulier

5. Icosadre rŽgulier

6. RhombododŽcadre rŽgulier

7. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ

8. Petit dodŽcadre ŽtoilŽ.

9. Grand dodŽcadre ŽtoilŽ

10. Grand dodŽcadre

11. Grand icosadre

Solides sans volume, Nos 12 ˆ 22.

12. TŽtradre rŽgulier sans volume Fig. 4 (Fig. 1, 1 bis)*

13. Hexadre rŽgulier ou cube sans volume Figs 5, 6 (Fig 2, 2 bis)*.

14. Octadre rŽgulier sans volume Figs 1, 2

15. DodŽcadre rŽgulier sans volume Fig. 8

16. Icosadre rŽgulier sans volume Fig. 7

17. RhombododŽcadre rŽgulier sans volume Fig. 9 (Figs 3, 3bis)*

18. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume Fig. 10 (Figs 4, 5)*

19. Petit dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

20. Grand dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

21. Grand dodŽcadre sans volume

22. Grand icosadre sans volume

 

NB. ƒtoilŽ = coiffŽ.

 

*RŽfŽrence :

http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/QbSansvXI2007bis.htm

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