SSVolCompl1bis

26 avril 2008

http://www.lisulf.quebec/quebecium.html

Systme du QuŽbŽcium

Solides sans volume. ComplŽments.1

Pierre Demers

Traduction interdite

 

RŽsumŽ. J'ai montrŽ prŽcŽdemment qu'un processus de dŽrivation que j'appelle ici jonction, appliquŽ ˆ certains solides rŽguliers, analogue ˆ celui qui produit les solides coiffŽs, permet d'obtenir des solides n'enfermant aucun volume. Ë partir des 11 solides rŽguliers que j'admets, j'ai ainsi produit 4 solides sans volume. Ils se divisent en 2 catŽgories, le tŽtradre sans volume se distinguant des 3 autres parce que les surfaces qui le composent ont obligatoirement une seule face. Pour des raisons conceptuelles, je rŽservais le cas des 7 solides restants parce qu'ils seraient composŽs de surfaces ayant une seule face sur une partie seulement de leur Žtendue. Je crois maintenant  que cette objection n'est pas valable. Je prŽsente donc la possibilitŽ de 7 solides rŽguliers sans volume nouveaux, avec des figures reprŽsentant la jonction de 3 de certains d'entre eux : octadre sans volume, dodŽcadre sans volume, icosadre sans volume. Somme toute : il existe 11 solides rŽguliers sans volume, en plus des 11 solides rŽguliers normaux. Au total, il existe 22 solides rŽguliers.

 

Introduction.

Je rappelle ce que j'Žcrivais dans mon travail prŽcŽdent:

http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/QbSansvXI2007bis.htm

Dans le cas de l'octadre, du dodŽcadre et de l'icosadre rŽguliers, j'ai pu croire que le processus serait applicable, puisque les faces viennent 2 par 2 vis-ˆ-vis opposŽes parallles et de formes planes semblables. Cependant, il me para”t maintenant sans intŽrt parce que les faces opposŽes ne co•ncident pas par une pure translation. La translation seule suffit pous amener ˆ confondre 2 faces vis-ˆ-vis dans un plan unique, mais ˆ ce moment, leurs formes sont dŽcalŽes. Pour amener en co•ncidence leurs formes, il faudrait ajouter une rotation : 2¹/6 pour l'octadre et l'icosadre, 2¹/10 pour le dodŽcadre. Or, dans un souci de prŽservation des symŽtries choisies, j'exclus les rotations

(Le soulignŽ est actuel).

Fig. 1. Jonction de 2 faces opposŽes de l'octadre.

 

Fig. 2. L'octadre sans volume, plan.

 

J'ai changŽ d'opinion. Le processus peut fort bien se suffire, de translation sans rotation. Deux faces opposŽes de l'octadre oprent une jonction, elles viennent se joindre dans un plan unique et le dŽcalage angulaire de 2¹/6 dŽtermine 7 rŽgions de 3  types : 1o un hexagone o la surface a 2 c™tŽs; 2o 3 petits triangles n'ayant que le c™tŽ avant; 3o  3 petits triangles n'ayant que le c™tŽ arrire. Fig. 1. Comme dans le cas du tŽtradre, le processus fait appara”tre des surfaces n'ayant qu'un c™tŽ. Fig. 1.

Je donne le plan de l'octadre sans volume. Fig. 2.

Dans le cas du tŽtradre, il n'y a pas jonction, le processus de translation se termine avec l'apparition d'une face du type 2o. Fig. 3.

Fig. 3. Ptocessus pour une face du tŽtradre.

 

Jonction. Pour la commoditŽ, j'appelle ici jonction le terme du processus de translation qui donne lieu ˆ la disparition du volume enfermŽ dans un solide rŽgulier, et qui est particulirement facile ˆ comprendre dans le cas du cube. Fig. 4.

Fig. 4. Translation et jonction. Deux faces d'un cube.

 

Dans le cas du cube, il y a jonction de 2 faces opposŽes et formation d'un carrŽ ayant 2 c™tŽs, avant et arrire. Figs 5, 6

Fig. 5. Jonction de 2 faces opposŽes du cube.

 

Fig. 6. Le cube sans volume, plan.

 

Dans l'icosadre, les faces vis-ˆ-vis sont des triangles orientŽs mutuelement comme dans l'octadre; son cas est donc semblable ˆ celui de l'octadre. Fig. 7.

Fig. 7 Jonction de 2 faces opposŽes de l'icosadre.

 

Le cas du dodŽcadre est comparable ˆ celui de l'octadre les faces vis-ˆ-vis sont dŽcalŽes, cette fois de 2¹/10. Il y a un dŽcagone ˆ 2 c™tŽs et 10 triangles n'ayant qu'un c™tŽ. Fig. 8.

Fig. 8. Jonction de 2 faces opposŽes du dodŽcsadre.

 

Voilˆ donc pour les 5 solides de Platon. Le cas du rhombodod.cadre rŽgulier est comparable ˆ celui du cube. Les faces vis-ˆ-vis se superposent sans dŽcalage. Fig. 9.

Fig. 9  Jonction de 2 faces opposŽes du rhombododŽcadre sans volume.

 

Et voilˆ le cas du rhombodod.cadre rŽgulier ŽtoilŽ. Les faces vis-ˆ-vis se superposent sans dŽcalage. Fig. 10.

Fig. 10. Jonction de 2 faces opposŽes du rhombododŽcadre ŽtoilŽ sans volume. Chaque face est en 4 parties..

 

Conclusion. Les 22 solides rŽguliers.

Quant aux 11 solides sans volume. J'ai reprŽsentŽ 4 d'entre eux dans la rŽfŽrence.

¥TŽtradre rŽgulier sans volume 12

¥Cube sans volume 13

¥RhombododŽcadre rŽgulier sans volume 17

¥RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume 18

Je montre ci-dessus le commencement d'une reprŽsentation pour 3 autres.

¥Octadre rŽgulier sans volume 14

¥DodŽcadre rŽgulier sans volume 15

¥Icosadre rŽgulier sans volume 16

Quatre restent auxquels je n'ai donnŽ aucune illustration.

¥ Petit dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

¥ Grand dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

¥ Grand dodŽcadre sans volume

¥ Grand icosadre sans volume

 

Liste.des 22 solides rŽguliers, y compris 11 sans volume.

 

1. TŽtradre rŽgulier

2. Hexadre rŽgulier ou cube

3. Octadre rŽgulier

4. DodŽcadre rŽgulier

5. Icosadre rŽgulier

6. RhombododŽcadre rŽgulier

7. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ

8. Petit dodŽcadre ŽtoilŽ.

9. Grand dodŽcadre ŽtoilŽ

10. Grand dodŽcadre

11. Grand icosadre

Solides sans volume, Nos 12 ˆ 22.

12. TŽtradre rŽgulier sans volume Fig. 4 (Fig. 1, 1 bis)*

13. Hexadre rŽgulier ou cube sans volume Figs 5, 6 (Fig 2, 2 bis)*.

14. Octadre rŽgulier sans volume Figs 1, 2

15. DodŽcadre rŽgulier sans volume Fig. 8

16. Icosadre rŽgulier sans volume Fig. 7

17. RhombododŽcadre rŽgulier sans volume Fig. 9 (Figs 3, 3bis)*

18. RhombododŽcadre rŽgulier ŽtoilŽ sans volume Fig. 10 (Figs 4, 5)*

19. Petit dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

20. Grand dodŽcadre ŽtoilŽ sans volume

21. Grand dodŽcadre sans volume

22. Grand icosadre sans volume

 

NB. ƒtoilŽ = coiffŽ.

 

*RŽfŽrence :

http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/QbSansvXI2007bis.htm

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