SSVolCompl2ncell

http://www.lisulf.quebec/quebecium.htm

Système du Québécium

Solides sans volume.

Les hexaèdres. Le nombre de cellules.

Règles générales.

Pierre Demers et Patrick Demers

Traduction interdite

18X-7XII2010

Résumé. L’un de nous a montré précédemment qu'un processus de dérivation comprenant translation et jonction, appliqué à certains solides réguliers, en quelque sorte orthonormal à celui qui produit les solides coiffés, permet d'obtenir des solides n'enfermant aucun volume, qui sont des polyèdres non fermés, et des semi-surfaces, qui sont des surfaces n’ayant qu’un côté. Ont été ainsi décrits quelques uns des solides sans volume possibles, avec photos de modèles 3D et figures manipulables. Réf 1, 2. Nous poursuivons ici leur étude, en envisageant cette fois les hexaèdres et le nombre de cellules résultantes. Ce nombre est égal ou supérieur au nombre de sommets du solide original. Nous énonçons des règles sur le nombre des cellules polyèdres ouverts obtenus et sur le nombre de leurs parois. Nous recourons à la représentation des parois par leur horizon, figuré par un point sur une sphère. Nous considérons le cas des solides non réguliers sans volume. Nous présentons des modélisations 3D manipulables et des animations 2D, obtenues avec le logiciel Sketchup.

Introduction.

Nous présentons successivement plusieurs types d’hexaèdres avec nos commentaires et nous terminons en énonçant des règles générales concernant les solides sans volume.

Hexaèdres 1. Le Cube.

Le cube est un solide régulier et de Platon, le plus simple des hexaèdres, solides limités de routes parts par des parois planes. Rappelons un travail précédent, qui présentait les solides sans volume. Réf.1

Voici un cube et un cube sans volume, papier l’un et l’autre. Les 6 parois opposées 2 à 2 du cube sont rapprochées virtuellement, ce qui est la translation et se rejoignent en formant 3 surfaces trièdres se croisant au centre de figure. La translation amène le centre de figure d’une paroi à coïncider avec le centre de gravité du solide. Fig. 1.

ab c

Fig. 1. a Un cube papier. Cubepap.png

b Le même devenu cube sans volume avec couleurs RVB. CubePapSv.png

c Idem sans couleur. CubeSvScou.png

Jonction. Nous appelons jonction le terme du processus de translation, qui donne lieu à la disparition du volume enfermé dans un solide, particulièrement facile à comprendre et à décrire dans le cas du cube, à cause de l’orthogonalité mutuelle des parois opposées prises 2 à 2. Fig. 2.

En principe, nos vues fixes sont en perspective oblique. Les orientations principales des plans sont colorées RVB aussi bien que les axes xyz trirectangles qui leur respectivement perpendiculaires. Un axe est donc muni de la couleur de la paroi qui lui est perpendiculaire. Le plan V fait face à l’observateur. La face la plus proche de l’observateur est munie du signe +, son opposée parallèle, du signe –.

Nous appelons parois les portions de surfaces planes limitant un solide.

a b c .

Fig. 2. Translation et jonction du cube.

a Un cube aux 3 couleurs RVB.

b. En animation. Translation des parois R+ et R-, annulant le volume à la jonction. Animation.CubeGIF.gif

c Après jonction le cube sans volume

Dans le cas du cube Fig, 1a, il y a jonction de 2 parois opposées s’ajustant exactement l’une à l’autre avec formation d'un carré ayant 2 faces, + avant et - arrière. Voici le résultat isolé pour les 2 parois V. Fig. 3. Et la vue en plan du résultat pour les 3 parois à la jonction. Fig. 4

Fig. 3. Jonction de 2 parois V opposées + et -, contenant les axes x et z. CubeAvArV.png

Fig. 4. Le cube sans volume, plan B contenant les parois + et -, l’axe z est en bleu. Les carrés R et V apparaissent par leurs traces en pointillé. CubePlanB.png

Horizons.

Nous recourons à la représentation des parois par leur horizon, figuré par un point sur une sphère, la sphère des horizons assimilable à la sphère des angles solides ou à la sphère céleste augmentée de sa réplique vers le bas. L’horizon autour de chacun est caractérisé par une verticale orientée zénith – nadir qui perce la sphère céleste mesurant 2pi, celle d’un observateur voyageur spatial à quelque distance de la terre mesurant 4pi. Voilà cetytye sphère rerésentée. Fig. 4bis.

Fig. 4bis. Ls sphère des horizons. Les cercles concentriques marquent les latitudes l’équateur 0o, 30o, 45o, 60o, les pôles 90o. Les 6 points de contacts avec le cube inscrit ou points principaux. Sphere1X.png

Imaginons une perpendiculaire portée au centre de chaque paroi d’un solide, elle ou sa parallèle passant par le centre de la sphère perce cette sphère ou sa représentation en un point que nous marquons par une pastille. Les parois d’un solide contenant les axes x et y apparaissent par une pastille au sommet de la sphère ou zénith pour la face supérieure + et une autre à sa base ou nadir pour la face inférieure –, qui sont donc superposés dans une représentation 2D en plan de la sphère. Pastille noire = point figuratif au dessus du plan du papier; pastille blanche, en dessous de ce plan. Le canevas Fig. 5. Par exemple, la surface d’un lac servant de paroi supérieure d’un cube: les lacs S. Pierre et S. Louis, peu éloignés l’un de l’autre géographiquement ont le même horizon, soit le même zénith, pastille noire unique sur le canevas plan B ci-dessous.

Cette représentation a la particularité d’être préservée quand un solide normal devient sans volume puisque lors de la translation, une paroi se déplace parallèlement à elle-même. Elle est la même pour tous les plans parallèles et ne dépend pas de la forme de la surface occupée ni de son extension.

La sphère des horizons peut se représenter par un canevas contenant les 3 projections plan, élévation, profil. Fig. 5. Pour chaque paroi du solide considéré, on y inscrira les pastilles descriptives.

Fig. 5. La sphère des horizons. Canevas, ses 3 vues trirectangles plan, élévation, profil. Dans le cube, toute surface est pairée càd lui correspond une autre qui lui est parallèle, la plus proche de l’observateur portera le signe +, l’autre, le signe -. Des parois pairées + et – sont liées à zénith et nadir, mutuellement antipodes. Dans le cas général, si une paroi est non pairée, on lui attribuera le signe +. CanevasMidi1erXI2010.png

À l’usage, une seule de 3 projections planes de ce canevas nous a paru suffire, celle en plan, les 2 autres répétant l’information. Le canevas ainsi simplifié paraît Fig. 5bis Canevas Plan. L’équivalent est de plus présenté en version 3D et 2D de 3D

abcÀvenir

Fig. 5bis. Le Canevas Plan de la sphère des horizons. a Version dessin. CanevasPlan9XI2010.png b Version 3D. c Version 2D de 3D

Le Cube décrit en terme d’Horizons.

Voici l’application du canevas des horizons à la description du cube. Fig. 6. Les 6 points principaux de la sphère répondent aux 6 parois limitant le cube.

ab

Fig. 6. Horizons du cube et de la poutre, tous hexaèdres ayant tous angles droits, sur le Canevas Plandes horizons où les 6 parois apparaissent comme 5 pastilles dans chaque projection plane : 6 points pour 6 parois, 2 points confondus pour les parois vues de face. CanevasPlanCube9XI2010.png

Voici pour illustrer et mieux comprendre les étapes et les espaces géométriques au cours de la translation. À son début, 6 parois sont en jeu, elles se déplacent. Fig. 7.

a b

Fig. 7. Nombre de parois des cellules. a Un cube non coloré en cours de translation. XXX

b Un cube coloré RVB en cours de translation. Vue obtenue avec le logiciel sketchup. Six parois sont en déplacement. On reconnaît 3*9 = 27 espaces définis par au moins 3 parois. Les espaces nouveaux sont de 3 types, limités par 3, 4 ou 5 parois. Rendu 2D d’un document sketchup. CubeContr1. Png Certaines de nos figures requièrent la possession et l’usage du logiciel sketchup. Annexe 1.

Les 27 espaces (cube).

Nombre des espaces, les nouveaux et le résiduel, présents au cours de la translation du cube. Le type d’espace est caractérisé par le nombre de parois le limitant, au moins 3.

Espaces nouveaux

ayant 3 parois: 8; (persistent dans le résultat à la jonction) ;

ayant 4 parois: 12; (disparaissent dans le résultat à la jonction) ;

ayant 5 parois : 6 ; (disparaissent dans le résultat à la jonction) ;.

Espace résiduel central

Ayant 6 parois : 1 (seul au début, disparaît à la jonction) ;

Total 27.

Parmi les 27 espaces, 26 sont donc nouveaux et ouverts, le résiduel central ou cube central étant un espace fermé, 8 persistent formant des octants.

Une fois la jonction réalisée, les 6 parois + et - se sont unies 2 à 2 pour former les 3 plans Fig. 4, et le cube central finalement n’occupe plus qu’un espace ponctuel. Au début du processus de translation, apparaît à chaque sommet du cube un espace limité par 3 portions de plan, soit 8 tels espaces qui, en fin de processus persistent seuls. Ce sont des octants, d’angle solide pi/2.

Pour le cube gris non coloré, les espaces 3 sont tous congruents entre eux, il en est de même des 6 espaces 5 et des 8 espaces 4.

Pour le cube coloré, les 8 espaces 3 sont congruents entre eux par groupes de 4, aussi bien pendant la translation que dans le résultat à la jonction. Voyez ce résultat plus bas. Les espaces 4 sont congruents entre eux, il en est de même des espaces 5.

Vues 3D manipulables.

Le logiciel skp permet de présenter une vue 3D manipulable de Fig. 7.

Si le modèle 3D, ci-dessus, n'apparait pas veuillez cliquer sur ce lien. Cube2DContr2C.pdf

Fig. 8. Ouvrez le lien. Vue 3D manipulable du cube à une étape de la translation. Comme Fig. 7 sauf la manipulation.

Congruences. Chiralités.

Le cube sans volume non coloré Fig. 7a présente 8 cellules trirectangles toutes congruentes entre elles. Cette congruence réclame un prix à payer, soit des déplacements et retournements comprenant des translations et des rotations d’un droit ou plus d’un, selon un axe ou plus.

Il en est pareillement pour le cube sans volume coloré 2 couleurs RVV, si on ignore des différences possibles de prix à payer.

Il en est autrement pour le cube sans volume coloré 3 couleurs RVB. Avec un prix à payer, et avec la numérotation choisie, les 4 cellules impaires 1, 3, 5, 7 sont congruentes entre elles et les 4 cellules paires 2, 4, 6, 8 sont congruentes entre elles. Il n’y a pas de congruences entre cellules paires et impaires. Si on remplace chaque cellule par un point centré, les 8 points sont aux 8 sommets d’un cube , chaque point est relié à ses 3 voisins de même parité selon les petites diagonales de ce cube. Le résultat est la définition de 2 tétraèdres réguliers dont les arêtes se rencontrent selon des droits. Fig. 9.

Ces observations peuvent se présenter en termes de chiralités ou d’énantiomorphismes, réalités et notions importantes en stéréochimie, en théorie de la vie et en médecine: problèmes des gauchers, dyslexie et apprentissage.

Rappelons que dans tout cube, on peut tracer des petites diagonales en travers des parois, et que ces 12 segments de droites dessinent 2 tétraèdres inscrits aux arêtes croisées. Ce sont des tétraèdres de Platon.

a

Si le modèle 3D, ci-dessus, n'apparait pas veuillez cliquer sur ce lien. CubeCont4Tetra.pdf

Fig. 9. Montre les 8 points centrés et les 2 tétraèdres qu’ils déterminent

a On reconnaît 8 octants du cube sans volume, organisés en 2 systèmes de 4 cellules congruentes. Ces systèmes sont marqués par les petites diagonales qui dessinent 2 tétraèdres réguliers aux arêtes croisées à angles droits, sur les faces d’un cube virtuel de côté égal à l’arête d’un octant. CubeTetra6XI2010.png

Les sommets visibles sont successivement violet 1 et orangé 2 en haut, orangé 8 et violet 5 en bas

b C’est la figure a manipulable 3D avec des numéros aux sommets

Les miroirs.

Le cube sans volume possède 3 miroirs de symétrie trirectangles se croisant à l’origine. Dans l’encoignure d’un trièdre de miroirs plans en plexi, plaçons le trièdre papier de l’octant supérieur droit avant. Il apparaît multiplié en 8 exemplaires assemblés correctement comme dans la figure en 8 octants papier. Chaque réflexion introduit un facteur 2 dans le nombre d’images. Cela est vrai pour le cube sans couleurs et pour les cubes colorés RVV et RVB.

ab

Fig. 10. Miroirs trirectangles plexi multipliant par 8 l’octant papier du cube sans volume.

a Avec une seule couleur. Image3miroirs3h531X2010.png

b Couleurs RVB. Image3Miroirs3Coul.png

Surfaces n’ayant qu’un seul côté. Les semi-plans. Les semi-surfaces.

Le résultat de la jonction est une collection de surfaces, chacune ayant 2 faces, avant + et arrière -, chacune de ces faces provenant d’une paroi originale du cube. Puisque la jonction des 2 parois produit une surface à 2 côtés, il est logique d’attribuer un côté et un seul, à chacune des parois avant leur jonction. Nous arrivons ainsi au concept d’une face plane ou paroi, limite d’un espace 3D, n’ayant qu’un côté, concept signalé dans Réf. 1, sous l’appellation anti-Möbius. Ce concept pourra être discuté davantage dans une publication distincte. Dans les figures présentées ici, il s’applique à toutes les parois limitant le cube ou l’hexaèdre initial et à ce qu’il en reste en fin de translation. Dans les diagrammes des horizons XXFigs 4b et 8b, chacun des points marquant 2 à 2 une paroi désigne un demi-plan orienté vers l’extérieur.

On pourrait généraliser. Toute paroi limitant un volume est un demi-plan, n’ayant qu’un côté, si ce volume est celui d’un solide. L’appellation demi-plan a son mérite, mais afin d’englober le cas de surfaces non planes, une appellation générale serait demi-surface.

Il faudrait examiner l’analogie physique et biologique avec les lames de savon dans les bulles de savon, les membranes des cellules vivantes, la couche de gélatine enveloppant les cristaux de bromure d’argent dans les émulsions photographiques et ionographiques au gélatino-bromure d’argent.

Kauffman Réf. 3 a étudié longuement les nœuds et le cas du ruban de Möbius, dont les deux faces, développées en 3D, semblent n’en former qu’une par continuité.

Hexaèdres 2. La Poutre.

Le cube, solide régulier et de Platon, appartient à une immense famille, celle des hexaèdres et plus précisément, des hexaèdres trirectangles, d’intérêt pratique bien connu en commerce et en architecture. Dans ces derniers, tous les angles dièdres et ceux entre arêtes aux sommets sont des droits et les parois sont des rectangles 2 à 2 opposés et parallèles. Ils méritent le nom de poutres, les arêtes étant de 3 longueurs en général inégales choisies ici comme étant 123. Il n’apparaît pas de raison qui interdirait d’appliquer aux poutres les opérations de translation et de jonction décrites pour le cube. Fig. 2.

Une poutre peut subir une translation et devenir une poutre sans volume. Comme l’horizon d’une paroi ne dépend que de l’orientation de la perpendiculaire à ses dimensions latérales, il est insensible à ces dernières et. réciproquement, l’inspection du canevas ne nous renseigne pas sur les dimensions des parois, ni d’ailleurs sur leur forme. Par suite, les figures ci-dessus pour le cube se répètent avec ajustements pour la diversité des longueurs des axes, pour la poutre sans volume et pour la poutre. Fig. 6. Répétons que l’inspection de la sphère et du canevas des horizons ne renseigne ni sur les longueurs des arêtes, ni sur le volume enfermé dans le solide original.

a

bc d

Fig. 11. Une poutre 123. a Papier normale et sans volume sans volume image éclatée. L’octant papier est multiplié par 8 dans un trièdre de miroirs plexi. Eclatee.png

b Une poutre grise et ses 3 arêtes inégales 123 à une étape de sa translation. Les petits chiffres sont les numéros assignés aux 8 cellules sommitales. PoutreGrise.png

c En couleurs RVB à une étape de sa translation. Nombre de parois des espaces. PoutreEDED.png

d Sans volume. Les parois pairées en vis-à-vis sont + et -. Ce sont des demi-surfaces, leurs jonctions en forment des surfaces. Cube contracteAsy123-9.gif

Au cours du processus de translation, aussi bien que pour le cube, 27 espaces apparaissent. À cause des différences entre poutre et cube, il y a 3 valeurs distinctes à considérer pour les longueurs des arêtes. En différence d’avec le cas du cube, le nombre de parois limitant un espace ne suffit pas à caractériser un type d’espace. Voici une description.

Ayant 3 parois : 8 = 4A pairs, 4A impairs. Persistent dans le résultat à la jonction,

Ayant 4 parois: 12 = 4B, 4C, 4D.

Ayant 5 parois: 6 = 2E, 2F, 2G.

Ayant 6 parois: 1 = H. Devient ponctuel à la jonction,

Congruences et tétraèdres pour la poutre sans volume.

À la différence du cube, la poutre sans volume non colorée ou avec 2 couleurs ne présente pas 8 cellules trirectangles toutes congruentes entre elles. Colorée ou non, avec la numérotation choisie, les 4 cellules impaires 1, 3, 5, 7 sont congruentes entre elles et les 4 cellules paires 2, 4, 6, 8 sont congruentes entre elles. Il n’y a pas de congruences entre cellules paires et impaires. Si on remplace chaque cellule par un point centré, les 8 points sont aux 8 sommets d’un parallélipède, chacun est relié à ses 3 voisins de même parité selon les petites diagonales de ce cube. Le résultat est la définition de 2 tétraèdres dont les arêtes se rencontrent selon des angles autres que des droits. Chiralités ou énantiomorphismes sont inhérents à l’inégalité des 3 dimensions de la poutre, que les parois soient colorées RVB ou non.

À la ressemblance avec le cube, on peut donc tracer dans la poutre sans volume 2 tétraèdres aux arêtes croisées, correspondant respectivement aux cellules paires et impaires. Mais les tétraèdres ne sont pas réguliers et les angles aux croisements ne sont pas des droits.

Hexaèdres 3. Faces parallèles 2 à 2. Le Cube incliné une fois.

Quatre parois restent des carrés, deux deviennent des parallélogrammes. Formule 4ca2plg. On déforme le cube, 4 parois B et V restent des carrés 2 à 2 mutuellement parallèles, leurs horizons étant à près de 60o l‘un de l’autre. Deux parois R deviennent des parallélogrammes égaux parallèles entre eux. C’est un prisme à base parallélogramme ayant 8 angles dièdres droits, 2 valant 60o et 2 valant 120o. Figs 12. La représentation sur la sphère des horizons préserve 4 des points principaux B et R comme le cube, 2 points V sont déplacés. Ici encore, il y a dans la figure sans volume définition de 8 cellules triédriques ouvertes et de 2 tétraèdres inscrits non régulierscroisés.

ab

cde f

Si le modèle 3D, ci-dessus, n'apparait pas veuillez cliquer sur ce lien. CubeInclineXFinalTetra.pdf

Fig. 12. Cube incliné une fois

a Vue papier. Cube1prlg.png

b Comme a, mais placé dans un miroir trièdre. On voit que 2 réflexions, dans un miroir dièdre, restituent l’image congruente de l’original. CubePenche1fois.png

b Son diagramme en horizons. CanevasPlanCubeP19XI2010.png

c Son aspect 3D manipulable. Tiré de CubeinclineX.skp (HorxCubeInclxx1.ai) (vxCanevas5h301XI2010.png)

d Image 2D de 3D montrant les tétraèdres pairs et impairs. CubeInclineFinalTetraC.png

Hexaèdres 4. Le Cube incliné deux fois.

Deux parois restent des carrés, quatre deviennent des parallélogrammes.

On déforme le cube, 2 parois B restent des carrés parallèles, 4 deviennent des parallélogrammes parallèles 2 à 2, les angles dièdres BR et BV deviennent approxumativement 30o et 60o dans l’exemple choisi. C’est un prisme à base carrée sans aucun angle dièdre droit

abc

Fig. 13. Cube incliné 2 fois.

a Vue Papier. Cube2Prlgr2XI2010.png

b Son diagramme en horizons CanevasPlCubeI2fois.png

c À une étape de sa translation.

L’hexaèdre Fig. 13a devenu sans volume. Trois surfaces planes entièrement +- se croisent à l’origine, l’une est un carré, les deux autres sont des parallélogrammes. Elles déterminent 8 cellules octants, chacune étant une vue partielle de Fig. 13a avec réduction ½ en diamètre. Les parois de ces octants sont +-, tous les angles dièdres sont des obliques. On peut y inscrire 2 tétraèdres non réguliers comme dans le cas du cube incliné 1 fois Fig. 12d, mais avec des angles différents.

Les cellules de l’hexaèdre incliné deux fois sans volume sont des octants eux aussi inclinés par rapport à ceux du cube. Ils en diffèrent par l’apparition d’angles dièdres obliques, ils sont au nombre de 8 et sont formées de surfaces normales ayant 2 côtés.

Les 4 hexaèdres sans volume étudiés jusqu’ici (1 à 4) se composent de 8 cellules triédriques. Pour le cube et la poutre, ces cellules sont toutes trirectangles, il en est autrement pour le cube incliné une fois ou deux fois.

Hexaèdres 5. Le Cube incliné quatre fois. La pyramide tronquée.

Deux parois sont des carrés parallèles mais inégaux + au haut de la figure, - en bas servant de base, la distance entre ces carrés est la hauteur ; 4 parois latérales sont des trapèzes égaux entre eux +. C’est une pyramide quadrangulaire tronquée. La translation s’opère vers le centre de gravité du solide défini, la jonction s’effectue quand le centre de figure de chaque paroi a été amené au centre de gravité. Ce cdg est situé sur l’axe de symétrie B à une hauteur au dessus de la base égale à 76/39 =1,95, soit sensiblement à mi-hauteur.

abc

de f

Fig. 14. a Un hexaèdre dérivé du cube modifié devenu pyramide quadrangulaire tronquée, ayant 2 parois carrés parallèles inégaux et 4 parois trapèzes égaux, dont 2 seulement sont figurées, formant avec les carrés des angles dièdres 90-36,9 = 53,13o et 36,9+90 = 126,87o, soit sensiblement la moyenne entre 30o et 45o ou entre 60o et 45o.

b Son diagramme en horizons. CanevasPlanPyrTr539XI2010.ai

c Son image 2D de 3D comme a et b (mais angles dièdres autres).

d et e Comme c, à des étapes successives de la translation.

f Comme c, mais après jonction. C’est la pyramide tronquée sans volume. Elle montre 18 cellules non femées: 2 sont tétraèdres et 16 sont trièdres. Les parois sont des semi-parois sauf une portion inférieure B. PyramTronSVol.png

Quant aux congruences entre cellules Fig. 14, il n’y en pas entre celles au dessus et celles en dessous de la paroi B. Dans l’espace supérieur, les 4 cellules triédriques R2V sont congruentes entre elles et il en est de même des 4 cellules RVB diamétralement opposées ; le même énoncé s’applique six cellules de l’espcae inférieur. Les 2 cellules 2V2R n’ont pas de congruences.

Hexaèdres 6. Le Cube incliné quatre fois. La Pyramide quadrangulaire.

La face supérieure de la pyramide tronquée qui précède est réduite à la limite à un point et nous avons une pyramide quadrangulaire, régulière si les faces sont comme ici choisies triangles équilatéraux. Nous l’envisageons comme un hexaèdre modifié.

Elle est en fait un pentaèdre à 4 faces triangles équilatéraux égaux, soit une moitié d’octaèdre régulier. L’octaèdre régulier est un solide régulier et de Platon. Si son arête vaut l’unité, sa hauteur vaut racine carrée de 2 = 1,4142. La hauteur de la pyramide est 0,7071,

La pyramide quadrangulaire aussi se prête à devenir sans volume.

ab c d

Fig. 15. Une pyramide quadrangulaire moitié d’un octaèdre régulier.

a Un modèle papier.

b Son image 3d .skp.

c Son image 2D de 3D. Tiré de .skp.

d Idem. Dessous. PyramEquiFinalDessous.png Toutes les parois sont des semi-plns.

La description plus haut pour la pyramide tronquée reste valable pour la pyramide sans troncature, congruences comprises, sauf l’absence de toute surface ayant 2 côtés dans la pyramide sans troncature.

Observations.

1. La translation.

La translation répond à un protocole, consistant à déplacer une paroi du solide original parallèlement à lui-même jusqu’à ce que son centre de figure coïncide avec un point choisi comme centre de figure du solide sans volume. Le choix de ce point est arbitraire, il peut être le centre de gravité du solide original, mais il doit être le même pour la translation de chacune de ses parois.

Ce protocole est appliqué à chacune des parois du solide original.

2. Règles sur le nombre des cellules dans les hexaèdres précédents.

Voici un recensement des résultats du présent travail pour le cas des 6 solides sans volume présentés, tous des hexaèdres. Ils se classent en 2 sous-catégories.

1o. Solides sans volume de 1re catégorie, Nos 1 à 4 ci-dessus. Cube, poutre et autres solides hexaèdres ayant 2 parois carrés parallèles et des parois quadrilatères celles-ci égales et opposées parallèles 2 à 2, inclinées ou non.

Il y a dans le solide sans volume :

8 cellules triédriques. Chacune provient d’un sommet du solide original. Il y a autant de cellules que de sommets dans le solide original.

Total 8 cellules.

2o. Solides sans volume de 2e catégorie, Nos 5 et 6 ci-dessus. Les hexaèdres normaux ont 2 faces opposées parallèles horizontales, dont l’une est la base et l’autre peut être réduite à un point. Les 4 faces latérales sont non parallèles : i. e., aucune d’entre elles n’est parallèle à une autre.

Le solide sans volume est formé de 6 semi surfaces dont 2 sont réunies partiellement en une surface ou de 5 semi-surfaces et d’un point

Il y a 8 cellules triédriques au-dessus du plan central, dont 4 provenant des sommets trièdres du solide original.

Il y a 8 autres cellules cellules triédriques en-dessous du plan central, dont 4 provenant des sommets trièdres du solide original et 8 autres.

Soit 16 cellules triédriques.

Il y a en plus 2 cellules tétraédriques.

Total 18 cellules.

Conclusions.

1. Il reste à contrôler les règles générales obtenues et si possible découvrir des règles encore plus générales, s’appliquant aux solides réguliers ou non et non seulement aux hexaèdres examinés. Ce que nous nous proposons de faire en continuant d’utiliser des modèles sur écran d’ordinateur, en papier et les procédés d’analyse exposés ici.

2. Il faudra en constituer un Atlas illustré des solides sans volume. Par exemple ceux dérivés des solides de Képler, de Poinsot, d’Archimède et de Johnson.

3. Puisque toute matière étant gravide occupe un volume sinon il n’y a pas de masse présente, le présent travail démontre la possibilité d’une sorte de dématérialisation des objets matériels constituant les représentations des solides normaux puisqu’on remplace leur forme pleine par une forme géométrique creuse limitée par des plans et qu’on les amène logiquement à ne posséder aucun volume. Le solide sans volume n’enferme aucun volume.

C’est une manière de remplacer la matière tridimensionnelle par une collection de surfaces, dont chacune est bidimensionnelle.

4. Cette sorte de dématérialisation est concrétisée dans l’exemple d’un cube, matérialisé par une masse d’eau cubique dans un réservoir cubique avec une paroi supérieure carrée B+ flottante et des parois latérales verticales. En ouvrant le robinet de vidange situé dans sa paroi inférieure B-, il se vide, les parois B+ et B- entrent en jonction et le cube solide est devenu à sa manière un cube sans volume.

À suivre.

Remerciements.

Nous remercions Pierre Auger Ph.D. qui a calculé pour nous certains paramètres de nos pyramides.

Références.

Réf. 1. Pierre Demers 2007, Système du Québécium, Solides sans volume, Traduction interdite

QbSansvXI2007bis.htm

1. Surfaces n’ayant qu’un seul côté. Elles sont évoquées dans le paragraphe: « Surface n'ayant qu'une face. Surfaces anti-Möbius.».

2. Les lignes suivantes datées de 2007 réclament une mise au point par leur auteur. La voici en 2010, et d’abord les lignes de l’original dont certaines ont été mises en italiques.

« Un suivi. Quelles conséquences a) pour la théorie géométrique des solides, b) pour la théorie générale des symétries y compris ses applications à la théorie quantique de la matière?N.B. XI2007. Une rédaction précédente contenait une erreur : j'affirmais que tous les solides normaux 1 à 11 possédaient une version sans volume. J'ai reconnu que certains solides en sont dépourvus : Nos 3, 4, 5; et je réserve ma réponse pour les Nos 7 à 11. - La rédaction erronée a été retirée, son adresse était Système du Québécium. Cinq solides de Platon, 22 solides réguliers. http://www.lisulf.quebec/CinqSPlaton22reguliers.html  »

Mise au point.

Je ne vois plus de raisons pour refuser à certains solides, réguliers ou non, la capacité de devenir sans volume, càd, à suivre le protocole convenu. Restera à apprécier dans chaque cas le degré de naturel, pertinence et intérêt du résultat. Quant à la théorie quantique de la matière et au projet imaginé par Kauffman, v. Réf. 2 qui suit : plutôt que la topologie suggérée par cet auteur, j’ai suggéré et commencé d’utiliser ce que j’ai appelé géométrie quantique.

Réf. 2.Louis H. Kauffman (1945-). http://www.math.uic.edu/~kauffman/A étudié le ruban de Möbius et les nœuds. A spéculé sur leur utilisation et plus généralement l’utilisation possible de la topologie pour ajouter à la description de la matière dans une continuité qui prolongerat celle amorcée par la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie et la mécanique quantique de Schrödinger. Voyez Géométrie quantique selon Pierre Demers 2006, 2007 dans http://www.lisulf.quebec/quebecium.htm

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