Trentesymetriespyramidesboules

Trente et les symétries

dans les empilements de boules.

 Pierre Demers

Traduction interdite.

11-16I2013.

Sommaire. Le recherche des symétries 4 dans ces empilements pyramidaux met en évidence le nombre 30.

Les empilements pyramidaux de boules autoportants.

On a cherché les symétries 4 dans ces empilements de boules sphériques égales autoportants, qui dessinant des pyramides ayant, comme toute pyramide, des faces triangulaires et une base qui est ici par choix soit un triangle soit un carré. Si la base est un triangle, chaque boule repose sur 3 autres, chaque boule repose sur 4 autres si la base est un carré. Dans les 2 cas, l’étage supérieur est composé d’une boule unique.

Dénombrement des éléments.

Les étages successifs, vue plongeante, vue de face, vue d’une arźte latérale. Figs 1, 2.

Base triangle, nombre de faces latérales 3, l’enveloppe est un tétrŹdre de Platon.

Description :  Macintosh HD:Users:pierre:Desktop:1.Contenus:1301Contenu:PyramBTri.png

Fig. 1. Base triangle. Vues: des étages successifs plongeante, de face; d’une arźte latérale. 40%

Quelque soit le nombre d’étages, le nombre d’arźtes reste 4

 

 

Quelque soit le nombre d’étages, l’enveloppe est une pyramide ą 4 faces égales soit un tétraŹdre de Platon.  Il y a donc 4 axes de symétrie 4 égaux et équidistants, chacun étant ą 109,47o des 3 autres. Chacune des 4 faces peut servir de base. Il y 6 arźtes égales formant une symétrie 6. Notons ces symétries 4=2*2 et 6=2*3.

Les boules situées sur les arźtes mais non aux sommets sont comptées 2 fois. Si de plus elles sont situées aux sommets, elles sont comptées sont comptées 1 fois de plus.  Dans le total des étages,  les boules sont comptées 1 fois.

Nombres

d’arźtes de la base.                  3

de faces latérales.                     3

de boules dans les sommets.    4

Nombres de boules

dans les arźtes de la base.                 2     3     4      5

dans la base.                                      3     6    10    15

dans les arźtes des faces latérales.    2     3     4      5

dans les faces latérales.                     3     6     10    15

total des étages.                                4     10   20     25

 

 

 

Base carré, nombre de faces latérales 4.

Description :  Macintosh HD:Users:pierre:Desktop:1.Contenus:1301Contenu:PyramBCar.png

Fig. 2. Base carré. Vues: des niveaux successifs plongeante, de face; d’une arźte latérale. 40%