SBiom2002qcrist.html
Un modèle semi-classique expliquant les cristaux à symétrie pentagonale
Pierre Demers, Québécium International
30 juillet 2002
Communication proposée au XVIIIe colloque de Biomathématique, Versailles, 19-20 septembre 2002
Les symétries d'ordre 5 sont importantes dans le monde vivant, du moins dans le règne végétal, et la chaîne chromosomienne présente une répétition 2X5 = 10. Elles existent dans ce qu'on appelle les quasi-cristaux découverts en 1984, ce qui présente une énigme parce que des polyèdres de symétrie 5 ne peuvent pas paver l'espace 3D. Les polygones réguliers de symétrie 5 ne se prêtent pas à paver l'espace 2D, mais on connaît les pavages de Penrose formés de pentagones réguliers et non réguliers qui renferment le nombre d'or essentiel en phytomathématique. Les quasi-cristaux présentent une symétrie d'ordre 5 dans la forme de leurs faces et dans leurs figures de diffraction aux rayons X, aux électrons et aux neutrons. Il faut dire que certains cristaux de pyrite FeS2 et de diamant C de maille cubique présentent des formes de dodécaèdres aux faces pentagones réguliers, de symétrie 5. Leurs figures de diffraction ne sont toutefois pas de symétrie 5. Deux polyèdres réguliers possédent la symétrie 5, ce sont le dodécaèdre et l'icosaèdre. Je m'attache au dodécaèdre régulier, dont la forme dérive de celle du rhombododécaèdre important dans le système du québécium. Le modèle que je propose est fondé sur la remarque que le dodécaèdre régulier posséde aussi des symétries permettant de l'inscrire dans un cube. À chaque arête correspond un système d'axes triédriques. Il y a 5 tels systèmes dans le dodécaèdre.
Des dodécaèdres réguliers, leurs axes xyz étant alignés. Distribution 2D.
Il est possible d'envisager une distribution indéfinie de mailles cubiques pavant l'espace et renfermant chacune un dodécaèdre régulier. Tous les dodécaèdres ont alors leurs faces semblables parallèles. La figure de diffraction serait déterminée par le contenu des mailles et non par la forme des mailles comme c'est le cas habituel. Le contenu des mailles déterminerait également l'orientation des faces cristallines, la forme et la croissance des cristaux. L'ordonnance, dans le présent modèle, est illimitée. Il n'est pas nécessaire de la supposer à court terme comme d'autres modèles le réclament.
Références.
Roger V. Jean, Phytomathématique PUQ 1978
http://www.globetrotter.net/gt/usagers/karro/biblio.htm
http://semsci.u-strasbg.fr/penrose.htm
http://er.uqam.ca/nobel/SBiom2002SolQc.html
http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/Polyedre.htm#type